流体进入多孔介质时，为什么会长出分叉前沿？

已经流到出口，为什么旁边还没有被扫过

一种流体进入原先被另一种流体占满的多孔材料，不一定像一堵墙那样均匀推进。它可能先沿一条很窄的通路穿到出口，留下大片区域几乎没有被替换。流体已经“通过了材料”，和材料内部已经“被充分扫过”，是两回事。

这种不均匀的前沿常被称为指进。Lenormand 等 1988 年的经典研究，把排驱图样归纳为毛细指进、黏性指进和稳定推进，后续研究进一步把润湿性和几何结构纳入比较。1 4

本文主要研究非润湿流体替换润湿流体的排驱。润湿性描述固体表面对哪一种流体更有亲和性，并不等于“水永远是润湿相”：Lu 等的实验里，硅油是润湿相，进入材料的水–甘油混合液反而是非润湿相。2

问题是：为什么前沿会分叉；把流速、黏度或孔隙结构改掉，能否判断到底是哪一种过程在选路？

进入孔喉和通过通路，是两个压力问题

流体必须先跨过孔喉的进入门槛。两相界面的弯曲由界面张力支撑，在局部毛细平衡近似下，压差满足 Young–Laplace 关系：

$\gamma$ 是界面张力，$\kappa$ 是带符号的总曲率。最简单的润湿圆管近似给出进入门槛 $P_e\sim2\gamma\cos\theta_w/r$，其中角度从润湿相一侧测量，$r$ 是管半径。真实孔喉还受形状、相邻界面和接触角影响，不能把这个圆管公式当作任意孔道的精确值。3 4

跨过门槛之后，维持流动还要支付沿途的黏性压降。在几何相同的两条通道里，更黏的流体占据的长度越多，通常阻力越大。因此，门槛回答“能否进去”，通路阻力回答“进去后多快、流量分给谁”。

为比较文献，本文统一定义黏度比和毛细数：

$i$、$d$ 分别指侵入相和防御相，$U$ 取按整个样品截面计算的表观流速。$M<1$ 表示较稀的流体推较黏的流体；$Ca_i$ 比较以侵入相黏度计的黏性作用与毛细作用。但文献也会用防御相或两相中较大的黏度定义毛细数，同名数值不能直接横比。2 3 4

在经典、近均匀的排驱范围内，较高毛细数下，$M<1$ 容易出现黏性指进，$M>1$ 更倾向紧凑推进；毛细数很低时，门槛无序可以在不同黏度比下主导。这里的“高低”还受孔隙结构和样品尺度影响，不能给所有装置套同一条数值分界。4

黏性指进：领先会不会让下一步更容易

设一条长度为 $L$ 的通道，侵入流体已经推进到 $x$。暂不计界面形状差别，其沿程阻力可写为：

其中 $C$ 是共同几何因子。如果 $\mu_i<\mu_d$，某条通路多前进一点，就把更多高阻力流体换成低阻力流体。在共同压差下，它于是获得更多流量，进一步领先。领先降低阻力，降低阻力又促进领先，这就是黏性指进可以放大局部偏差的一条机制链。4

若 $\mu_i>\mu_d$，符号反过来：领先的通路积累了更多高黏度流体，流量分配有缩小差距的倾向。真实界面还受横向流动、曲率和孔隙几何调节，因此这种解释不是完整的分支形状理论。

本篇用两条等截面、等长度通道把这一步算清。两条通道的毛细门槛相同，共享压差，固定的是总流量，两边各自流量由阻力分配。把长度归一化后，平均前沿位置为 $\bar x$，两侧差距为 $\delta$，方程给出：

从平均位置 0.1 推进到 0.8，$M=0.1$ 时差距放大为原来的 3.25 倍；$M=10$ 时缩小到约 0.232 倍；$M=1$ 时差距保持不变。在这个没有额外界面平滑项的简化模型里，等黏度是中性，不能把它说成自动恢复平前沿。本篇计算

在完整多孔网络中，通路还会相互竞争压力场，某些领先分支持续得到流量，其他位置则推进较少。Primkulov 等的动态孔网络模型同时计算了这类流量分配与界面门槛，用以比较持续的黏性分支生长和间歇的毛细入侵。4

毛细指进：流得很慢，也可能分叉

低流速会减小黏性压降，却不会消除孔喉之间的进入门槛差异。非润湿流体遇到一排不规则孔喉时，往往先进入当前能接触到、门槛较低的地方；进去后又接触到新的孔喉，下一步的选择范围随之改变。

这不是在全材料中预先选一条最宽的直线。一个低门槛孔喉如果尚未与侵入相接触，就不能直接被使用；局部连接和已经走过的路径同样重要。在合适的准静态排驱条件下，按当前可达的最低门槛逐步入侵，可以产生分叉、绕行和未扫过的团块，这就是入侵渗流模型捕捉的部分。2 4

“慢”也不意味着每个瞬间都平缓。界面可能先被孔喉卡住，达到临界形状后突然进入前方孔隙，再在下一个位置停住。外部平均流量很小，与局部发生快速填充并不矛盾。3 4

Lu 等 2019 年的实验提供了一个清楚例子：侵入相黏度是防御相的十倍，$M=10$；但在很低的流率、约 $Ca_i=3\times10^{-7}$ 下，没有孔径梯度的无序介质仍表现出毛细指进。有利的黏度比，并不能单独保证前沿均匀。 这里局部进入门槛的差别仍在主导选路。2

孔隙逐渐变小，为什么反而能稳住前沿

如果沿推进方向，平均孔喉逐渐变小，非润湿进入门槛通常逐渐提高。那么伸得太远的分支，会遇到比后方更高的门槛；相对落后的位置仍有较容易进入的孔喉，前沿更有机会横向铺开。反过来，若越往前门槛越低，领先分支会不断得到额外优势。

这与改变黏度比是不同的调节。Lu 等保持流体、流率和局部无序设置，改变孔径梯度的方向与幅度，观察到从铺开的前沿到窄通路的转变。2

Vincent-Dospital 等 2022 年用透明的三维打印柱阵组成准二维孔隙模型，让空气替换水–甘油混合液。水平放置时，调换进入方向，稳定铺开的图样和窄指状图样相互转换；图像分析得到，两种情形在贯通时约排出了 65% 和 20% 的润湿相。适当倾斜装置后，重力作用还能反转原先的稳定趋势。3

原论文及图3；图片许可：CC BY 4.0。

这些对照说明，前沿面对的是可用压差相对于局部进入门槛的变化。孔径梯度改变门槛，重力改变沿程的可用压差，两者可以互相加强或抵消。本文把正方向统一为推进方向；原论文的坐标相反，因此不直接照搬其“正梯度、负梯度”的字面判断。3

前沿也不必变成无限薄的一条线。随机门槛仍会让局部位置前后错开，而平均梯度限制这种错开能延伸多远。该研究在稳定、准静态和相应尺度分离条件下，将前沿宽度与梯度渗流联系起来；本文只采用其机制解释，不把稳定前沿的宽度规律套给正在失稳伸长的单个分支。3

在一个小网络里，把选路过程走一遍

本篇建立了一个 $90\times60$ 的四邻接孔网络。每格代表一个等体积孔，连接代表孔喉；孔喉有固定的随机进入门槛，再叠加沿推进方向的平均趋势。入口列先被侵入，之后每次选择当前可接触的最低门槛。如果某团防御相已经与出口不再连通，模型把它判为困闭，不能继续侵入。

这个困闭规则假设没有额外的润湿膜排出通路，且不模拟防御相压缩。模型也没有流速、物理时间或黏性压力场，只用来检查门槛与连接怎样影响毛细选路，不承担前一节黏性指进的全部动力学。

对预先固定的 12 个随机种子做相同的配对比较，首次贯通时侵入孔隙比例为：

比例的分母是除初始入口列之外的全部孔节点。这里的门槛变化幅度是自选的无量纲参数，不代表某种岩石的压力值。结果显示的是这一模型内的趋势，而非所有材料都应达到这些比例。本篇计算

这也解释了为什么“通了”不等于“扫干净了”：降低的门槛让少数分支较容易继续前进，仅侵入较少孔隙就可能形成贯通通路；提高的门槛则给后方孔隙更多被侵入的机会。真实材料里，润湿膜、孔体积差异、液体压缩和局部协同填充还会改变留下多少液体。

润湿性为什么会改变基本规则

前面的最低门槛选路，是针对特定排驱条件的简化。如果换成更润湿固体的流体进入，界面可以沿角隅前行，或者相邻弯液面接触、合并，协同填充一个孔。此时“每个孔喉有一个独立固定门槛，逐个挑最低者”就可能漏掉重要过程。4

Primkulov 等 2021 年在动态孔网络模型中分别处理了界面突跳、触碰、重叠和角隅推进，扩展了经典的两参数分类。其中，协同孔填充可以在毛细作用主导时产生紧凑的前沿；角隅流又可能先沿固体附近形成通路，而没有把孔中心的防御相全部替换掉。4

润湿性并非额外添加的一种神秘力，它通过接触角、界面曲率和连接方式进入毛细作用。判断某个窄孔更难还是更容易被占据，必须先说清是哪种流体进入、固体更偏好哪一相，以及考虑的是孔中心还是角隅通路。

怎样区分看起来相似的前沿

在较均匀、固定润湿条件的经典排驱范围里，可以先用下表建立方向感，但不能把它当作任意孔隙材料的完整分类：

压力有波动并不能单独证明纯毛细机制，图样细长也不能单独证明黏性机制。动态模型显示，两类流动都可能包含局部界面事件；区别还涉及事件是否间歇、哪些通路持续获得流量，以及压力梯度主要落在哪一相。4

2026 年 8 月，Kang 等进一步研究了侵入范围、两相界面面积和毛细压力的联系。其实验约束了形态与界面面积趋势，局部曲率和特征毛细压力主要由相场模拟提供；文中的流动聚焦指标使用侵入相像素占据作为通道贡献的代理，并不是逐孔实际流量的直接测量。5

这类工作推动了一个更具体的问题：即使侵入比例相同，界面形状、连通性与活跃通路是否相同？它仍受准二维几何、流率范围和模型推断限制，本篇不把所拟合的关系当成任意多孔材料的通用状态方程。5

分叉前沿因此不是由“分叉”这个形状自行解释的。它来自进入门槛、流动阻力、界面连接和边界条件的共同作用。把这些条件逐项改变，再看推进过程怎样响应，才能知道眼前这条分支究竟为什么长出来。