一样的外形，究竟匹配了多少信息
两根长条最后都被夹成相同长度、相同厚度，看起来一样平。切开以后，一根向上弯，另一根向下弯；或者轮廓几乎不变，夹具读出的力却不同。这种差异可能来自生长顺序，但需要指出顺序保存在哪里。
至少有三种载体：材料加入时被冻结的自然长度或预应力；最终同一能景中选中的不同稳定分支；塑性、黏性或其他会演化的内部变量。还有一种表观差异：系统尚未充分平衡，或者温度、材料标签、边界等终态条件其实没有匹配。
先建立一个排除性的基线：若最终完整材料参数、自然状态、连接、负载和边界相同，且充分放松后的平衡唯一，就不能仅凭顺序不同再得到不同平衡。 这是同一能量最小化问题的直接结果，不是所有生长体都满足的唯一性定理。有限变形、接触、屈曲和多稳态往往使唯一性不成立；“外轮廓相同”也远弱于完整内部位移和材料状态相同。
原始生长方法究竟保存什么
Naghibzadeh等的2025年有限变形方法研究表面质量增加或移除。它使用固定空间网格，分别记录材料所在区域、密度$\rho$和弹性变形$F_e$，不用不断扩展一张全局无应力参考网格。1
其分解为
$F$是实际变形梯度，$F_{\rm relax}$描述材料参考/自然状态，$F_e$决定弹性应力。新材料进入边界时，要给定密度和进入的弹性状态，不能只说“多了一层”。对已加入、没有后续非弹性改变的材料粒子，原文假定$F_{\rm relax}$沿粒子轨迹不变；$F_e$则随实际运动变化：
材料进入时的应力$\sigma^*$通过本构关系限定$F_e^*$，但应力到弹性梯度一般至多确定到旋转，作者脚注明确保留这一自由。实际$F$须满足运动相容性，$F_e$本身不必是全局位移的梯度；它不是给每个网格点任意指定一个可兼容实际变形的替代物。1
边界法向速度还满足质量收支
$M$为单位面积质量通量。因此，边界固定不意味着没有生长：进入材料与已有材料的运动可以互相补偿。原方法把材料添加、机械放松和状态输运分步处理，慢过程忽略惯性。它的空间相函数只依赖边界法向运动；非正常方向生长通过进入材料的剪切预应力及随后的放松实现。
本库取得固定作者稿、CMU接受稿及作者代码固定提交，核了进入张量赋值、$(I+\nabla u)F_e$更新、密度除以$\det(I+\nabla u)$及状态输运。没有执行Firedrake整套求解，不能据代码取得就声称复现原生长图。2
一个应力释放的精确小例子
原文例4.1先检验无生长的均匀剪切放松。初始
下边固定、其余自由，实际放松变形取$D=(F_e^*)^{-1}$，于是$DF_e^*=I$，最终无弹性应力。$D-I$对应$u_x=-\alpha y,u_y=0$，下边$y=0$恰好不动，且$\det D=1$，没有质量密度变化。
本库实际核这一解析基准及另外三个剪切值；用与原文同形式的可压缩neo-Hookean能量，选$\mu=1$、Lamé参数10、密度1。$\alpha=0.1$时初始能量密度0.005，初始应力为
放松后能量和应力均为零。数值差分核本构导数，另核100个正行列式增量的密度与弹性行列式收支。4 这验证解析局部基准，不替代相界面、网格及输运误差检验。
原论文常倾角生长算例同样报告最终应力几乎处处为零。变化倾角可以生成复杂形状，但这些例子按已知自然形态构造。生长出复杂形状，并不充分说明最终必有残余应力，更不充分说明匹配完整终态以后仍有独立的顺序记忆。
第一种载体：附着时刻把自然状态写进材料
一维关系足以指出保存环节。设总伸长$\lambda=g\lambda_e$，$g$为自然伸长。若材料在总伸长$\lambda_{\rm att}$时、以弹性伸长$\lambda_e^*$进入，便有
无弹性预应力加入意味着$\lambda_e^*=1$，却不意味着$g=1$；它意味着自然状态匹配当时的附着状态。小应变下就是$\alpha=\varepsilon_{\rm att}-\varepsilon_e^*$。后续夹具回到原长，冻结的$\alpha$不会因此自动变零。
本库用一根完全黏结、两层等厚等模量的长梁作明确示例。厚度$h=1$、单位宽度、$E=1$，层A在下、B在上。协议甲让A在共同伸长$+\delta$时无应力加入，B在$-\delta$时加入；协议乙交换两层的进入先后。取$\delta=0.02$，加入后自然应变冻结，最后都夹成轴向应变和曲率为零的直梁。这是人工规定的附着及夹持协议，所需外部做功没有省掉。
甲的自然应变为下层$+\delta$、上层$-\delta$，乙相反。最终轮廓、材料量和模量相同，自然应变场并未匹配。平面保持平面的细长梁近似给出
夹平时两层应力为$\mp E\delta$，总轴力为零，但维持平直需要大小$E\delta h^2/4$、方向相反的弯矩。零合力不代表零内部应力。
允许梁自由伸长和弯曲，最小化
得到$\varepsilon_0=0$、$\kappa=\mp3\delta/h$。甲乙曲率分别$-0.06,+0.06$；能量从0.0002下降到0.00005，仍有四分之一。原因是线性厚度应变不能逐点等于两段常量的自然应变。切开黏结、让两层独立回到天然长度可以进一步释放，但那改变了连接系统。
本库按每半层8、32、80点积分，并与独立自适应积分及解析矩核合。这里没有模拟端部三维应力、滑移、有限转角或真实打印过程，不把薄梁近似当任意沉积体通解。
完整终态匹配以后，顺序差异可以消失
为了检验基线，取四根共同伸长的并联杆。每根自然伸长$g_i$和权重$v_i$预先固定，内部能量为明确自建的一维有限伸长势
它不是原文二维neo-Hookean全部约束的缩减证明。此处
所以零外力平衡唯一：
取$g=(0.95,1.03,1.08,0.98)$、$v=(1,2,0.7,1.3)$，实际遍历24种加入顺序，每步放松，最终均为$\lambda_*=1.00534608$、总能量0.00877433。中间长度不同，终态汇合。各杆仍有拉压内力：路径独立不等于无应力。4
这个控制主动保持每根杆的自然参数和材料身份，并不假装任意当前长度下“无应力加杆”都会做到。必要时须给新杆相应预变形或外部夹持。若改变协议让自然长度随附着时状态决定，就回到上一种载体，已经不是同一个终态问题。
第二种载体：同一能景中的不同稳定分支
即使参数相同，充分消除所有局部应力的平衡也未必唯一。用无量纲能量明确展示另一种记忆：
$x$是可见外形/夹具位移，$q$是未由轮廓决定的内部构形变量，$h$是临时偏置。始终夹持$x=0$，最终$h=0$，两个稳定点为$q=\pm\sqrt{1-c^2}=\pm0.953939$，反力$\partial_xU=-cq$分别$\mp0.286182$，能量相等。
从同一个负分支开始，施加$0\to+0.5\to0$或$0\to-0.5\to0$的偏置，沿局部稳定支路加载。前者跨过失稳点，后者留在负分支，最终得到上述不同反力。偏置临界大小约0.334，最终能量函数、可见外形和全部固定参数相同。4
这是隐含多稳态的机制示例，不是生长体的标定方程，也不声称$q$是独立于材料构形的神秘记忆。顺序在这里选择不同内部状态，没有改写固定参数；仅靠等待、小扰动不能跨过理想零噪声能垒。若平衡唯一，或另有足够扰动使两协议达到同一分布，分支记忆就不再以这种形式存在。
第三种载体：会松弛或冻结的内部应变
原2025方法的主生长部分假定材料加入后没有非弹性演化，不能直接拿它代表塑性或黏弹性。为说明额外状态的作用，本库另做两种常见的简化本构控制。
Maxwell型内部应变$a$满足$\dot a=(\varepsilon-a)/\tau$、$\sigma=E(\varepsilon-a)$。从$a=0$出发，在$\varepsilon=0.025$保持$2\tau$后夹回$\varepsilon=0$，有
初始内部应变约0.02162，之后趋零。这种模型中的历史是暂态；在规定终态继续等待可以洗掉。不能把几倍$\tau$内的差异自动称为永久残余应力。
理想弹塑性控制则取两层屈服应变0.01和0.02，共同经历$0\to0.025\to0$。执行逐步返回映射后，两层塑性应变为0.01、0.005，最终应力为$-0.01E,-0.005E$，由夹具承担合力。与始终保持零应变的协议相比，最后外形与原始弹性参数相同，但塑性内部变量不同。这个理想模型中等待不会自行恢复；若允许蠕变、回复或退火，还需给相应动力学。
若把塑性状态也纳入“有效自然状态”，它当然仍属于终态未完全匹配。区分这些载体的目的正是指出少匹配了什么，而不是把“历史”另加成一个没有物理内容的参数。
怎样在实际研究中识别历史保存环节
| 解释 | 应匹配并记录什么 | 有区分力的操作 |
|---|---|---|
| 附着参考状态不同 | 每层材料身份、进入时变形/应力、自然参数、密度和温度 | 受控预变形加入；切开/分层测释放长度和曲率 |
| 同一最终能景的不同分支 | 固定参数、连接和终态夹具；测内部构形 | 从多初态加载，局部扰动与跨垒切换比较 |
| 黏性暂态 | 加载速率、各层年龄、松弛时间与等待时间 | 保持同一终态，等待并测应力是否汇合 |
| 不可逆内部变量 | 塑性、损伤、键重排或相变状态 | 卸载重载、退火/恢复与未处理对照 |
| 终态条件漏匹配 | 完整材料域、自然度量/曲率、厚度、各向异性及边界 | 不能仅按外轮廓分组；检查合力之外的应力/弯矩 |
2026年生长薄片研究说明，即使局部几何相容，整体光滑嵌入仍可能受限。3 对称分支视界和非对称证明缺口仍按T125的范围保留。那是最终几何可实现性及形态选择问题；它没有单独证明两种顺序在完全相同终态条件、唯一平衡下仍给不同答案，也没有排除低正则或其他自由度。需要另找参考状态变化、分支或不可逆过程这条桥。
较稳的结论是：相同外形可以伴随不同内部应力，顺序能否留下痕迹取决于明确的内部载体与放松条件。 本篇解析和数值控制分别支持三类可能性，没有提供某种实际制造工艺中各机制占比的测量。原二维生长计算未重跑，真实沉积的热、密度、化学与损伤耦合，以及完整非线性平衡唯一性仍是未决。
T04的浆体写入/裂纹读出、T06的物种到达顺序、T124的训练后刚度配置均另有承重对象；本题新增的是材料进入时的参考定义和状态输运，以及终态匹配控制。父库非平衡与强度篇作背景，不能由一般“历史重要”代替这里的物理环节。
来源与复算
<a id="source-s1"></a>[1] 原始研究。 Naghibzadeh, S. K.; Rollett, A.; Walkington, N.; Dayal, K. Accretion and ablation in deformable solids using an Eulerian formulation: A finite deformation numerical method. JMPS 200, 106076 (2025)。DOI，固定2502.16348v1，CMU接受稿。两稿取得，核§2–4的本构、脚注假设、算法及例4.1–4.3；发表题录与作者方法读取范围分开，不称已逐式核最终排版稿。
<a id="source-s2"></a>[2] 作者代码。 SurfaceGrowth固定134d6af。README、三程序取得；核两份NonNormalGrowth的进入/更新/输运段，PressureMelting取得未作本篇方法精读。未执行Firedrake，未取得独立原轨迹数据。
<a id="source-s3"></a>[3] 原始薄片研究。 Isometric Incompatibility in Growing Elastic Sheets. PRL DOI，固定2603.21112v2。从T125原件复制并核哈希，续核整体/局部条件及范围；不把终态障碍升级为顺序对照。
<a id="source-s4"></a>[4] 本库执行。 输入、结果。research/calculations/growth_history_residual_stress.py及_audit.py、_figures.py。四剪切基准、24顺序、双层三积分阶数、两种偏置历程、黏弹/塑性控制及248项独立导数/根/积分/稳定/收支核通过。原件与日志在本篇evidence；自建模型不冒充原FEM或真实生长实验。