热为什么有时会像波一样传播？

热的高处和低处，竟然可以交换位置

把一把金属勺的一端加热，通常看到的是热逐渐摊开：温差减小，较冷的地方慢慢变暖。我们习惯用热扩散描述这个过程。

现在换一种加热方式。在石墨表面用两束激光干涉，瞬间制造一排间隔相等的热条纹。加热强的位置较热，两条热纹之间较冷。如果只有最简单的均匀热扩散，原来的温度峰会逐渐降低，谷会升高，最后变平；峰和谷不会交换身份。

但在合适的石墨样品、温度与条纹间距下，实验发现：原来较冷的位置，可以暂时比原来较热的位置更热。换句话说，温度图案翻转了。2019年和2022年的研究先后把这种行为带到100 K以上和200 K以上；2026年，同位素提纯石墨在300 K、约27摄氏度的实验中也出现了对应信号。1 2 3

这就是本篇的问题：热为什么有时不仅是摊开，还能像波一样传播？什么相互作用能把无数微观振动组织成这样的集体过程？

这里研究晶体中的漂移型第二声，主要对象是石墨的晶格热输运。它不是说出现了人耳能听到的另一种声音，也不是说石墨整体流动起来。超流氦和所谓无漂移第二声涉及不同条件，不在这里强行统一。

光栅读数变负，不是绝对温度变负

瞬态热光栅实验，简称TTG，并没有在每一条微米热纹上放一个温度计。激光加热引起热膨胀，使表面形成极小的起伏；探测光被这组起伏衍射，再与参考光干涉。调好相位以后，读数能够保留热光栅的正负号。1 3

这相当于问：原先加热最强的位置，现在比原先加热最弱的位置热多少？正值表示原来的峰仍较热，零表示这一对位置暂时等温，负值表示二者高低关系反过来了。

若把某一空间分量写成

$L$是光栅周期，$\overline T$是空间平均温度，$A(t)$描述图案的相对振幅。$A$为负，只是空间温差的符号变化。 它既不是负的绝对温度，也不自动表示样品已经低于激光照射前的环境温度。

在均匀一维扩散模型中，

只要热扩散率$D>0$，这个振幅一直为正。因此，可信的负光栅信号能排除这套简单的扩散描述。至于它是否唯一证明了集体声子机制，还需要后面的比较。

测量本身也有边界。激光刚到达时，电子激发、电子向晶格交能以及不同声子分支的热化，还没有全部完成。热膨胀是实验直接读出的量；在非平衡阶段，不同振动模式对膨胀的贡献不同，它不必严格等于一个已经建立局部平衡的温度。2026年论文也把更精确的解释写成声子集体能量所对应的“准温度”差。3

碰撞不只会阻碍输运，还要看它保存什么

晶体原子在平衡位置附近振动，振动可以分解成不同模式。用量子语言描述这些振动的能量激发，就是声子。声子可以携带能量传播，也可以因为晶格非谐性、同位素质量差异、缺陷和边界而发生散射。1 4

关键不是笼统地数“碰撞有多少”，而是碰撞之后，哪些整体信息仍被保存。

正常散射，简称N过程，保存相关声子的总晶格准动量。 不同模式可以重新分配能量、改变各自的传播方向，但整个分布的漂移不必被抹掉。频繁的N过程可以让声子迅速接近一种带集体漂移的局部平衡分布。这时，描述局部状态除了温度，还需要漂移这个变量。

阻性散射，简称R过程，使声子体系的这种漂移逐渐丢失。 Umklapp过程、同位素散射和某些边界散射都可能作出贡献。准动量是晶格周期性下描述模式的量，并不等于把一群原子当作自由小球得到的机械总动量；准动量不再保存在声子子系统里，也不意味着整个物体违反了动量守恒。

在真实石墨中，热流与准动量并非简单成正比。N过程能在不同速度的模式之间重新分配能量，从而改变热流，但它保存的集体漂移可以支持一个较慢衰减的输运模式。因此，“正常碰撞完全不影响热流”仍然过于粗略。1 2

一个适合入门的尺度条件是：

左边要求在关注的传播时间内，已经发生足够多次正常碰撞，使各模式形成集体行为；右边要求整体漂移还没有被阻性过程迅速耗掉。等价地，可以比较传播距离与两类平均自由程。

这个不等式是机制窗口，不是拿两项随意平均的寿命就能作出的精确判定。真实晶体有多个声子分支、不同传播方向和跨度很大的寿命；哪些模式携带了足够多的能量、哪些集体模态衰减较慢，都要进入定量计算。2 4

窗口两边分别是另外两种情况：尺度太短，声子还没来得及充分碰撞，主要体现弹道传播；尺度太长，漂移已经衰减，宏观上又接近扩散。降低温度也不是越低越好：阻性过程可能减弱，但正常碰撞也可能太少，最后滑向弹道一端。

用同一组方程，算出三种输运

本库采用线性化Callaway思路做一个最小模型：把正常碰撞和阻性碰撞分开处理。4

假设所有携能激发的速率大小相同，方向均匀分布在三维空间；只研究一个方向上的空间热光栅。这个“单速、各向同性”设定省掉了真实石墨的声子色散、分支和各向异性，因此它用于解释机制，没有拟合实验，也不预测石墨的声速或室温阈值。

模型跟踪不同方向上的能量偏差。阻性项使它趋向没有漂移的均匀角分布；正常项只消除更复杂的角分布差异，保留平均能量和一阶方向偏差。初态是同一条温度余弦光栅，没有初始热流。

用$u=qvt$作为无量纲时间；$v$是统一的传播速率。碰撞强度写成$\gamma_N=1/(qv\tau_N)$和$\gamma_R=1/(qv\tau_R)$，数值越大，表示在相同传播时间内碰撞越频繁。比较四组条件：

阻性碰撞频繁时，温度图案逐渐衰减。在同样弱的阻性背景下，增加正常碰撞后，波动变得更接近一个共同的集体节奏。正常碰撞并没有供给额外能量，而是在保存整体漂移的前提下，使原本不同方向的能量分布快速相互协调。

把空间图案也画出来，就能看到负号实际意味着什么：

数值使用64个高斯积分方向，并与128个方向对照；温度振幅差小于$2\times10^{-12}$。两种矩阵求解途径在选定时刻交叉核对；两类碰撞都守恒平均能量，正常项还守恒一阶方向矩。增加正常碰撞后，结果逐渐趋近下一节的波动方程；增加阻性碰撞并按慢时间比较，结果逐渐趋近傅里叶扩散。计算没有仅凭一条漂亮曲线就认定程序正确。

代码为库内research/calculations/graphite_second_sound.py，参数、时序、解析极限和精度核对见计算记录。

波从哪里来：热流需要一点时间才肯掉头

在正常碰撞足够快的模型极限中，复杂角分布可以近似由温度偏差$\theta$和方向矩$m$描述：

第一条是能量守恒：流进流出的差别决定局部能量怎样改变。第二条说明方向性流动本身也有动力学：温度梯度能建立它，阻性散射逐渐削弱它。这里的$1/3$来自三维各向同性平均，不是所有材料共有的常数。

把$m$消去，得到

这是带阻尼的波动方程。若空间变化太缓慢，第二阶时间项可以忽略，就回到扩散；若变化快到足以保留热流的动态响应，又没有快到破坏正常碰撞建立的局部集体状态，就可能出现衰减的温度波。4

对一个空间波数$q$，这个理想模型的欠阻尼条件是$qv/\sqrt3>1/(2\tau_R)$。但不能因此无限缩短波长，因为推导同时要求正常散射足够快。两条条件一起给出中间窗口。

直观地说，温度差刚刚被填平时，能量流不一定立刻归零。残存的方向性继续把能量带到原来的低温区，便可能造成过冲；随后温度梯度反向，流动才逐步改变方向。它与有阻尼的惯性系统相似，但这里保留的是声子分布的集体方向性，而不是一块石墨沿表面来回滑动。

这不要求违反第二定律。对这套线性模型，空间传播只重新搬运各方向的分布，两类碰撞的加权二次型都是非正的。计算确认相应的总偏离量不增加，即使局部温差或某个温度分量会变号。它提供了一个自洽例子：只用瞬时温度梯度描述完整状态，在这个时间尺度上已经不够。

另外，第二声的“集体”指的是许多声子模式的占据和漂移协同变化。它不要求这些微观晶格振动全都保持同一振动相位。普通机械声波主要表现为位移、应变等场的传播，温度波则是热能分布的集体运动；光学实验必须检查两者是否混进了同一个信号。

弹道也会出现负号，为什么还要讲第二声

完全没有碰撞时，本库模型可以直接求解。沿不同方向传播的能量分量，各自带着原来的空间图案移动。把所有方向相加，温度光栅振幅为

$\mu$是传播方向与光栅方向夹角的余弦。这个函数会变负，第一处负谷在$u\approx4.493$，振幅约$-0.217$；数值角积分与解析式一致。

这里没有正常碰撞，没有被碰撞建立起来的局部漂移平衡。波形来自不同传播方向的空间相位叠加，随着时间推移相互抵消。这是**“看见能量波动”与“确认流体式集体传播”不同**的明确例子。

它不否定石墨实验。真实石墨各模式的速度、方向、热容量权重和膨胀响应，与这个单速模型不同。2019年的研究计算了石墨的无碰撞极限；2022年的工作进一步专门讨论了弹道声子产生的“热零声”，以及它与集体第二声在实测波形中的混合。1 2

所以更可靠的证据组合是：温度和光栅周期改变时，波形是否按散射窗口变化；实测速度与衰减是否符合考虑不同声子模式的模型；无碰撞极限与只保留阻性近似的计算，能否解释同一组数据；机械声波和探测相位是否有独立对照。

单独拟合出一个阻尼余弦，也不够回答这些问题。阻尼波动方程可以解释观测形状，但它的有效速度和阻尼为什么取那些值，仍须回到微观散射和测量条件。

石墨实验怎样一步步改变条件

2019年的实验还说明，“比扩散更不寻常”不等于“都是第二声”。在室温缩短光栅周期时，表观热扩散率已经随尺度变化，但曲线仍可近似指数衰减。这是非局域或近弹道尺寸效应的线索，不能直接当作集体温度波。1

2022年研究将探测从连续激光改为超快脉冲，提高时间分辨率。它同时承认真实信号中有机械声学振荡：通过调整参考光相位压低这部分，再对高频成分作平滑处理，保留负谷的慢轮廓。225 K的观察与250 K未能清楚分辨，不应写成225 K以上物理上突然绝对不可能。2

这几项研究有作者和理论方法的延续，不能按三个年份算成三套完全独立的重复验证。它们的价值在于逐步改变了时间分辨率、空间尺度和材料组成，并让计算与实验在新的条件下相互检查。

为什么提纯同位素能把窗口推到室温

碳-12和碳-13的电子结构非常接近，但质量不同。随机分布的质量差异会散射晶格振动。减少较少量的碳-13，可以减弱这条使声子漂移衰减的通道；它不需要同时把正常声子碰撞也消灭。3

2026年研究通过高温高压方法获得提纯石墨，用二次离子质谱测得碳-13约0.07%；作为对照的自然丰度HOPG约含1.10%碳-13。研究同时用拉曼谱检查相应差异。后面的机制判断并不只依赖一条拉曼峰移动，而是结合材料表征、热光栅波形和包含同位素散射的第一性原理输运计算。

提纯样品在这些条件下出现弱负谷，对照则没有同样的负谷。温度降低时，波动一般更明显；改变光栅周期，负谷出现的时间、深度及其是否仍可分辨也改变。相应的全散射矩阵计算，使用两种同位素丰度，重现了主要差异。多处测量位置的结果在补充材料中也作了比较。3

这组证据支持同位素阻性散射是控制室温窗口的重要因素。不过，提纯样品与商业HOPG的制备和微结构并不完全相同；它不是在同一块晶体上只切换一个变量。不同尺度下的偏差，还可能受到晶界、缺陷、初始激发权重和测量响应的影响。

全散射矩阵的价值，在于保留模式之间交换能量和动量的耦合。如果把所有碰撞都当成各模式独自恢复无漂移平衡的阻性松弛，就会丢掉正常过程保存集体方向的作用。简化的Callaway模型可以保留这层机制，但要给出石墨的温度阈值和定量波形，仍需真实的声子谱、散射参数和边界条件。3 4

论文还讨论某些尺度下“有效热导率”高于长尺度平台的现象。这里的有效值是从TTG衰减及指定分析口径提取的输运指标，不能直接理解成所有器件、所有稳态条件下的材料热导率都提高相同比例。本篇没有取得可单独重拟合的原始数值表，也没有重新计算完整石墨散射矩阵，因此不把这项增强幅度作为自己已独立复算的结论。

哪些认识较稳，哪些还要继续测

较稳的机制认识是：声子碰撞的守恒性质与观察尺度，决定能量传递能否保留集体漂移。正常碰撞足够快、阻性衰减相对较慢的窗口里，温度和热流可以共同形成衰减波；到了更长时间和尺度，热流可以再次近似跟随温度梯度，扩散描述恢复适用。1 2 4

石墨中的实验支持这种图像，2026年结果进一步说明同位素纯度能显著改变室温下的可观测窗口。但尚不能由一次负谷推断整个声子群都处于同一种输运状态，更不能从室温微米实验直接承诺宏观散热器收益。

最有区分力的后续工作，是在可比微结构中系统改变同位素丰度，并同时扫描温度、光栅周期和激发功率；把原始相位信号、声学分量和探测响应与散射计算一起比较。对于真实多分支材料，热化尚未完成时的膨胀读数怎样对应局部能量，也仍值得进一步拆开。

这个问题给出的更一般认识是：频繁的微观相互作用，不一定会迅速抹掉所有宏观变化。 如果它们保存了某些整体量，就能让许多微观自由度先形成协同，再由更慢的过程决定协同如何衰减。热扩散和温度波由此成为同一能量输运问题在不同条件下的两种表现。