一堆松散颗粒，怎样形成能够承重的整体？

单颗粒很硬，为什么一堆颗粒还会流动

一粒沙很难被手指压扁，一堆沙却可以从指缝里流走。颗粒的硬度没有消失，发生变化的是：它们能否通过移动、转动和交换邻居，让整堆材料改变形状。

因此，颗粒材料的承重问题，首先是集体运动还有没有出路。如果所有容易的重排方式都被限制住，外力就必须压缩接触、克服摩擦，或者破坏原有结构，才能继续使材料变形。这个时候，它才表现出整体的刚性。

但还要加上后半句话：这些限制必须在当前的受力方向、边界和观察时间内保持。一个能够顶住竖直压力的结构，可能挡不住横向扰动；一片瞬间共同运动的颗粒，也未必会在停止加载以后继续保持原来的状态。1

本文沿着这个问题比较干燥摩擦颗粒和浓悬浮液。两者都能借助接触形成承重结构，但悬浮液还要处理液体润滑、排斥作用、流动和瞬态前沿。这里不把一种材料的临界密度当成另一种材料的通用常数。

“连起来”“撑得住”和“变不动”，分别在问什么

想象把颗粒画成点，把相邻接触画成线。看到一张贯穿整个样品的网，很容易认为承重问题已经解决。实际上，这张图还缺好几层信息。

静止颗粒的基本条件可以写成：

第一式说它不能在合力下持续加速，第二式说它不能在合力矩下持续转起来。这是静力平衡条件，不是自动保证稳定的证明。小球恰好停在山顶也能瞬间满足合力为零，但稍受扰动就会离开。

对于无黏结的干颗粒，接触主要能推，不能凭空把已经分开的颗粒拉回来。若采用常用的库仑摩擦描述，还要满足：

这里$f_n$是压紧接触的法向力，$f_t$是切向力，$\mu$是摩擦系数。后一式是静摩擦能够承担的范围；到了滑移边界，不能继续把切向接触当成始终不滑的约束。真实接触还可能包含滚动阻力、黏附或非球形咬合，本文的球形与圆盘模型没有一概包括它们。15

一个四边框，能把缺失的那一环讲清楚

先把复杂颗粒暂时换成四根长度固定、角上可以自由转动的杆。

四根杆首尾相连，确实已经连成一个整体，但正方形能够歪成平行四边形。四条边都不用变长，内部却发生了形变。加一根对角斜撑后，这个侧摆方式才被消除。

这不是只凭外观判断。本篇实际计算了三个结构的约束矩阵：四个平面节点一共有8个位置自由度；扣除整个结构的两种平移和一种转动后，还剩5个内部自由度。四条边只给出4个独立限制，所以还留有一个内部变形方式；加一条斜撑后，矩阵的秩从4变成5；再加第二条斜撑，秩仍是5。

最后一步很有用：线条数量增加，不等于独立约束数量增加。第二条斜撑没有再消除一个自由度，尽管它可以改变刚度、受力分配和失效后的后备支撑。约束冗余并非没有价值，只是它的价值不该被说成“多消除了一个独立运动”。

对应的线性关系是$R\mathbf u=0$：$\mathbf u$是一组节点微小位移，$R$把它转换为杆长的一阶变化。除掉整体平移和转动后，如果仍有非零解，就存在一阶不伸长的内部运动。本例还构造了保持四条边精确等长的有限侧摆路径，因此这里的柔软性不只是线性近似制造的假象。

不过，这仍然是杆件模型。它解释约束独立性，没有直接模拟沙堆。

只允许推、不允许拉，答案又会改变

现在保持方框几何相同，把斜撑换成一种只能受压、拉长后便脱开的支撑。

顶部朝一个方向移动，斜撑变短，因而抵抗；朝反方向移动，斜撑变长并脱开，便不再提供阻力。图纸上还是那条线，力学条件已经不同。

图中采用最简单的弹性能：可拉可压时为$E=k(\ell-\ell_0)^2/2$；只抗压时为$E=k\max(0,\ell_0-\ell)^2/2$。它没有颗粒的摩擦、预应力和真实接触几何，不能给出某堆颗粒的承载量。它给出的反例非常明确：把所有接触都画成双向杆件，可能高估结构的能力。

实际颗粒中，预压能让接触先处在压紧状态，因而容许一定范围的卸载而不马上脱开；继续卸载则可能把这份余量用完。预压也会改变失稳条件，并非压力越大就能保证所有形变方式越稳定。载荷方向、结构几何和接触保持必须一起检查。

摩擦怎样帮助承重：它限制了另一种逃走方式

没有摩擦的光滑球之间，接触力沿两球连心线。它能阻止进一步互相挤入，却不能直接阻止沿接触面相对滑动。摩擦加入以后，部分切向相对运动也会受到限制，旋转与平移随之耦合起来。

一个直观例子是，两侧墙面对中间物体提供相同的法向夹持力$N$，物体重量为$W$。在这个对称、准静态简化例子里，两侧向上的静摩擦最多合计$2\mu N$；要靠这些接触支撑重量，至少需要$W\leq 2\mu N$。如果墙面不夹紧，光有较大的摩擦系数也无济于事。这个例子说明摩擦与约束边界的配合，不是完整沙堆模型。

对许多理想无摩擦球模型，常用的约束计数在临界附近给出平均接触数$z\simeq2d$，$d$是空间维数。平面摩擦圆盘还要计入旋转，不滑动接触能够提供更多约束，最简单计数相应发生变化。可是这些数必须带上条件：剔除不参与承重的游离颗粒、处理边界和有限尺寸、区分滑动接触，并核对约束的独立性。不能拿“每粒平均接触了几个邻居”一个数字验收全部承重问题。13

摩擦在本文的干颗粒和悬浮液证据中很重要，但不能把“没有摩擦就绝不可能剪切堵塞”写成普适定理。经过特定制备和深度退火的无摩擦模型也能出现剪切诱导堵塞；其可达密度区间与制备历史必须明确。这不会否定摩擦实验，而是说明不同制备方式能限制不同的运动出路。1

干颗粒实验告诉我们：接触网与强受力网不是同一张网

Bi等2011年的实验研究平面摩擦圆盘，在密度低于相应各向同性堵塞值时施加剪切，观察到由松散状态经脆弱状态进入剪切堵塞状态。圆盘的光弹性信号被用于推断接触受力，因此研究不仅知道哪些颗粒相邻，还能够区分主要传力路径。23

其附件中一个关键对照是：改变剪切方向以后，几何接触网络仍可保持贯通，强受力网络却可能失去某个方向的贯通。“还连着”与“原来的承重路径还在”可以分离。

他们还改变了“多大的力算强力”的筛选门槛，检查结果是否完全来自人为画线。就该装置而言，足够强的受力网络在压缩方向先贯通，扩张方向随后贯通；附件报告后者对应的非游离颗粒比例约为$0.83\pm0.02$。这是特定二维体系中的经验结果，不是所有颗粒材料达到83%就突然变硬的标准。

另一个容易讲反的细节是：剪切堵塞并不意味着一反向就必然立刻散掉。附件的反向试验显示，已经压紧的接触可以在小幅反向应变下继续承担载荷。有限颗粒变形提供了余量；更大反向运动则可能改变强力网络。材料既有方向性，也可能存在一段能够承受扰动的范围。3

悬浮液的额外问题：为什么加大驱动才建立更多摩擦接触

把颗粒放进液体以后，颗粒靠近时，要挤开中间的液体薄层。表面排斥也可能帮助它们保持分离。低应力时，润滑与排斥使许多接触不能像干颗粒那样持续传递切向力；应力增大后，更多接触能够进入摩擦主导的状态。

Seto等的颗粒模拟同时包含流体阻力、短程排斥和接触摩擦，并比较不同摩擦系数。在他们所研究的模型和条件内，去掉摩擦会失去强烈的不连续增稠；仅仅形成几何相连的接触团簇不能解释全部变化。这个撤除对照比只看到“大应力时接触更多”更能支持摩擦机制。5

它并不意味着液体动力学不重要：液体仍负责阻力、润滑和相对运动。也不能把所有连续增稠都归为同一种机制，或者把有黏附、有滚动约束的颗粒硬塞进固定摩擦系数模型。

Wyart与Cates把这件事压缩成一个可读懂的模型：设已进入摩擦状态的接触比例为$f$，完全润滑与充分摩擦时的堵塞密度分别为$\phi_0$和$\phi_m$，其中$\phi_m<\phi_0$，则用插值表示当前有效门槛：

颗粒总数与占据比例$\phi$可以不变；变化的是，同样的排列在当前接触规则下还有多少重排空间。随着$f$增加，有效堵塞门槛降低，原来离门槛尚远的材料就可能变得很接近它。4

这是一种有解释力的约化。它没有从每一个真实接触精确推导出插值形式，也没有保证不同大小颗粒之间的所有接触等价。

同一个接触模型，为什么既能变稠，也能停止均匀流动

本篇按2014年论文的示例实际计算：$p=P/P^*$是粒子压力与排斥压力尺度之比，选择$f(p)=1-e^{-p}$、$\phi_0=0.64$、$\phi_m=0.58$。在论文的缩放单位下：

这里的$P$是粒子压力，不是剪切速率；模型另假设固定$\phi$时剪切应力与粒子压力之比不随$p$改变，才可以把曲线形状相互对应。数字是原论文的说明性参数，不是本篇测得的玉米淀粉临界浓度。

当$\phi=0.55$时，摩擦增多使阻力上升，但仍保留持续流动的空间。$\phi=0.575$时，曲线出现两个转折，模型可以产生两个流动分支之间的突跳与历史依赖。图中没有模拟实际加载装置如何选分支，也不把中间回弯部分当成稳定实测轨迹。

当$\phi=0.60$时，材料位于0.58与0.64之间。计算得到$p=\ln3\simeq1.099$时，$\phi_J$降至0.60，均匀流动解到达边界。这个值之后不能继续把平方公式机械延长，再声称材料重新流了起来；公式的适用域已经结束。

这一组比较解释了一个重要区别：增稠是流动阻力增加；堵塞是相应条件下失去持续均匀流动的能力。 突然增稠不必然意味着整个样品已经永久变成固体。真实材料还可能靠局部剪切、颗粒迁移、变形或破裂继续运动。4

一次回弹还不够，要看后续轨迹和内部怎样变化

Peters等2016年的研究将稳态剪切与瞬态响应放在同一个实验体系中比较。其扩展数据图2提供了三种施加剪切应力条件下球体的后续轨迹：零剪切应力、90 Pa和4,400 Pa。本篇直接读取发表源表重绘，没有重新追踪原始视频。67

仅看初始碰撞，很容易把“这一下很硬”当成完整结论。继续看后续记录，零应力与90 Pa条件下仍可下沉；4,400 Pa条件下回弹后则在约7秒记录中维持支撑。这是原文图注对所示状态的解释。应力指外加剪切条件，不能拿4,400 Pa当成球体冲击压力，更不能当成所有淀粉悬浮液的统一阈值。

这些曲线仍没有直接展示内部每一粒颗粒。Han等同年的另一项实验使用高速超声测量内部流场，并同时约束密度变化：移动前沿附近的剪切最强，前沿经过后出现接近整体移动的区域。在其声速测量条件下，撞击前填充分数约为0.48，声速噪声对应的填充分数变化量级约0.006，远不足以靠压密到各向同性堵塞来解释观察。8

这支持剪切重排机制，但“没有检测到足够压密”不等于每个小区域的密度绝对不变。声速是沿传播路径的测量，还受弹性模量影响；密度换算有模型假设。其流场来自超声示踪与速度反演，也没有直接量到每个摩擦接触。附件显示除泡前后低应力流变有明显差异，高应力时才较接近，因此不能把示踪气泡当成完全无影响。9

两篇共享研究者与材料路线，提供互补观测，不能算成两条完全独立的研究谱系。

前沿碰到边界以后，承重条件又变了

动态堵塞不是把一个开关同时拨到整桶材料上。它从加载区域附近形成，向外传播；前方还在重排，后方已经可以近似作为一个共同运动的区域。

Han等实验中，前沿到达容器底部附近时，冲击器受力明显上升。此前动态区域可以带动越来越多的物质运动；碰到底部后，它与固定边界之间建立了新的受力条件。因而“前沿形成”“连到支撑边界”和“支撑能维持多久”是三个需要分别测的问题。89

这也让所谓“剪胀”更容易理解：颗粒重排时可能倾向于需要更多空间，边界限制这种变化，就会改变法向压力与接触摩擦。但只知道材料有剪胀倾向，并不足以推出一定出现不连续增稠；固定压力与固定体积的比较条件不同，排斥引入的应力尺度也不能丢掉。4

2026年的新进展：流动里也能先长出刚性团簇

Singh等2026年的研究把问题推进到大小不一的颗粒：即使宏观上仍在流动，接触网络内部是否已经出现一部分被充分约束的结构？

他们在二维浓悬浮液模拟中，根据滑动与不滑动接触的不同约束，识别瞬时刚性团簇；结果显示，团簇快速增长的门槛$\phi_c$可以早于均匀流动终止的门槛$\phi_J^\mu$。周围较柔软的区域仍能变形，团簇也在不断形成和解体。因此，局部刚性与全体持续流动能够并存。10

论文的算法没有把所有润滑与排斥作用都算成刚性接触约束；它给出的是选定模型下的结构诊断。粒径分布在所比较的统计匹配体系中呈现相近规律，不代表任何粒径分布都能仅靠几个统计量完全替代。

这里还有一个很值得保留的版本教训。早期预印本摘要曾强调接近二维Ising模型的指数；本篇核到的2026年发表版，在更大的体系和有限尺寸分析后转向与二维渗流更一致的解释。11其有限尺寸分析使用1,000至8,000粒子，且某些量的缩放并不一样理想。这是有价值的数值进展，不是对真实三维材料普适类别的最终证明。

本题从它获得的主要增量，是把“瞬时刚性团簇”“宏观变稠”和“全局堵塞”分开测量。理解这个分层，比急着给所有颗粒材料贴一个相变名号更有用。

哪些条件变化最能检验解释

现在可以把机制变成具体、可区分的预期。

• 改变加载方向。 如果主要由各向异性受力网络支撑，方向改变会改变响应；但已有预压可能允许一段小幅反向范围，不能预设立即崩塌。
• 改变接触性质。 在几何与驱动可比的情况下改变摩擦、粗糙度或排斥，若增稠门槛和高应力状态随之变化，就能检验接触建立机制；同时要排除黏附、粒径等伴随变化。
• 改变边界与观察时间。 将前沿未触边、触边后和停止驱动后分别记录，才能区分运动中的阻力、边界支撑和长期保持。
• 同时测结构与力学。 只看接触数不够；接触状态、受力方向、局部速度及整体响应的配对变化，才有助于判断哪条运动出路被限制了。

这些是由前文证据和模型整理出的检验思路，具体材料仍需要自己的对照。

本篇较稳的认识是：颗粒能否共同承重，取决于可用运动、接触允许的力、结构方向和边界如何配合；密度是重要变量，但不能独自描述所有状态。还未解决的是：给定一堆真实的三维颗粒，能否仅从有限的结构观测就可靠预测其不同方向、不同时间下的全部承载极限。现有约化模型与实验提供了能走通的机制环节，也留下了这段距离。