多出来的那一支，先要说清多在哪里
一团超流原本只有一种长波运动：疏密来回跑，也就是声波。等它自发排出周期性的密度花样，运动方式就多出一种——花样本身可以整体挪、可以被压缩。数对称性的说法很简洁：相位不变性与平移不变性各破缺一次，低能就该有两支无隙模。
可是「该有两支」还不是能被一次测量否掉的话。看到谱里有两条线，可以是两支 Goldstone 模，也可以是一支 Goldstone 模加一支别的什么（有限尺寸的高阶模、驱动的边带、两个不同区域各自的声速）。要让它能被否掉，得说清两件事：这两支在长波极限下的色散长什么样，以及它们的速度由哪些静态量定。第二件事才是真正的约束。同时破缺相位与平移的一维系统，两支线性支的速度满足
$K$ 是体压缩模量，$B$ 是层压缩模量，$f_s$ 是超流分数，$\rho_n=\rho(1-f_s)$。2 五个数里只有三个独立。于是「看到两支」可以升级成一句能被否掉的话：任取三个，剩下两个必须对得上。
这条公式还自带一个刻度。把 $K/\rho$ 与 $B/\rho_n$ 按测量值固定、只把 $f_s$ 拨到 1，判别式退化成完全平方，两支正好解耦，$c_+$ 与 $c_-$ 就是 $\sqrt{B/\rho_n}$ 与 $\sqrt{K/\rho}$ 两个数本身。也就是说，两支被推开多少，量的就是 $1-f_s$ 有多大。
换一套毫不相干的微观模型，两支照样出现
要检验这条闭合关系，最省事的办法是找一个跟偶极气体、跟受驱动的钾气体都不相干的模型，从头把两边都算出来。本文用的是一维软核玻色气：粒子之间是 $U(x)=u_0/[1+(x/R)^6]$ 的软核排斥（Rydberg 缀饰气体的势形），没有偶极项、没有 LHY 项、没有驱动，就一条 Gross-Pitaevskii 方程。取 $\hbar=m=R=1$，模型只剩一个参数 $nu_0$。
这个模型自己会长出周期结构。软核势的连续傅里叶变换有闭式（三个下半平面极点的留数和，$\tilde U(0)=2\pi/3$），在 $k\approx4/R$ 附近取负，于是均匀态的 Bogoliubov 谱 $\omega^2(k)=\varepsilon_k[\varepsilon_k+2n\tilde U(k)]$ 里先出现一个 roton 极小；$nu_0$ 越过 20.6466 后它软到零，失稳波数 $k_r=3.9351/R$，对应周期 $1.5967\,R$。
越过阈值之后要拿到调制基态，光靠虚时间演化不行——从光滑高斯出发它永远停在未调制的鞍点上（这一步早期给出过五个「零模」，其实是被截断掉的失稳 roton 模）。本文的做法是先用 $1+0.25\cos(k_r x)$ 播种、虚时间粗收，再对 $(\psi,\mu)$ 加上密度与晶体相位两个约束做 Newton 迭代。
这一步是整篇计算里最关键的一步，代价与收益都能量化。在 $nu_0=26$ 上取两套长短差一倍多的虚时间安排：各自把 GP 残差停在 $1.4\times10^{-5}$ 与 $4.0\times10^{-5}$，给出的 $c_-$ 是 4.4425 与 4.2295——彼此差 4.79%。加上 Newton 之后，两套安排的残差都掉到 $10^{-14}$ 量级，$\mu$ 收到同一个 53.339765，$c_-$ 收到同一个 4.52462，两者之差在打印位数上为零。也就是说，不加这一步的话，下一节那些 2% 量级的「闭合误差」里有一大半其实是求解误差，而且它的大小取决于你选了什么步长安排。
调制之后，把 Bogoliubov 方程写成 Bloch 形式（每个准动量 $q$ 上一个原胞内的本征问题），两支线性支就直接读出来了。$nu_0$ 从 21 到 36，密度对比度从 0.27 长到 0.95，两支速度分别从 5.97 降到 3.29、从 7.55 升到 11.73（单位 $\hbar/mR$）。一支变两支，而且两支互相推开。
三个静态量算出来，代回公式，对得上
两支速度是从谱里读的。闭合公式要的三个量，全部另外算，互不借力：
- 体压缩率 $c_\kappa^2=(n/m)\,\partial\mu/\partial n$，从状态方程的数值导数得到；
- 层压缩模量 用晶格应变：把平均密度钉住、只改晶格常数，$B=a_*^2\,\partial^2 e/\partial a^2$；
- 超流分数 用相位扭转：在原胞上加 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa x}$、晶格不动，能量的二阶系数就是 $f_s$。
代回去的结果：整条扫描上，闭合公式给出的两支速度与谱里直接读到的最大差 1.97%，而且误差随调制加深单调变大——刚过阈值时只有 0.44%，对比度 0.95 时才到 1.97%。这个方向是合理的：调制越深，晶体越接近一串近乎孤立的液滴，长波流体力学描述被拉得越紧。这一步没有任何拟合参数。
这一步顺带把一个约定定死。层压缩模量在文献里既有写成 $e=e_0+\tfrac12Bu^2$ 的，也有写成 $e=e_0+Bu^2$ 的，两者差一倍。两种取法代进闭合公式：前者 1.97%，后者 37.91%。约定不是品味问题，是能被同一批数据判掉的。
还有一个容易含糊的地方：体压缩率该在晶格常数一起弛豫的条件下取，还是在晶格常数钉住的条件下取？两者原则上不同（密度与层应变有交叉耦合）。本文两种都算了：$c_\kappa$ 相差不到 0.08%，闭合误差 1.97% 对 2.01%。也就是说，在这个模型里这个区分可以忽略——但这是算出来的，不是假定的。
一维里超流分数的两个定义严格重合。 相位扭转的 $f_s$ 与 Leggett 上界 $f_s=[\bar n\langle1/n\rangle]^{-1}$ 在一维、晶格固定时完全相等：电流 $j=n\varphi'$ 沿链必须均匀，于是 $\varphi'=j/n$，绕行条件定出 $j$，流动能量密度就是 $\kappa^2/(2\langle1/n\rangle)$。数值上两者最大差 $2.1\times10^{-4}$。这不是巧合，是一维的特殊性：二维以上电流可以绕开低密度区，真实超流分数会高于 Leggett 值。
显式偏置：只有被它破缺的那一条会开缝
把一条与自发周期完全相同的外加晶格 $-V_L\cos(2\pi x/a_*)$ 加进去，平移对称性就从自发破缺变成显式破缺，而 U(1) 一点没动。两支的反应应当完全不同：晶格支被钉住、开出谱隙；相位支照旧无隙。
算出来正是这样。$V_L$ 从 0.02 加到 1.6，晶格支的谱隙从 0.578 长到 4.663，小 $V_L$ 处的对数斜率是 0.4955（正弦钉扎的谐近似给 1/2）。相位支这一侧则要小心读：谱隙是把 $\omega^2$ 对 $q^2$ 外推到零得到的，用直线拟合会把支本身的弯曲误读成 0.12 的假谱隙。改成对 $q^2$ 做二次拟合、并把 $q$ 点加密之后，相位支的拟合截距绝对值始终不超过 0.11，而且随 $V_L$ 加深一路缩小（$V_L=0.02$ 时 0.110，$V_L=1.6$ 时 0.013）——真谱隙会随偏置变大，这一支的走向正好相反，说明它就是拟合噪声。
这条判据比「看到两支」有用得多，因为它是分项的。看到一支开缝、另一支不开，说明被破坏的恰好是平移那一条；两支都开缝，说明相位那一条也被外界固定了（比如与腔场锁定）；两支都不开缝，说明外加的偏置比可分辨的谱隙还小——这时候还能从数据上给外加偏置定一个上界。顺带一提，这条外加晶格同时把超流分数从 0.593 压到 0.316：它固定的是晶体，但代价由超流付。
束缚：一支被钉死在阱频上，另一支的频率是个尺寸数
把同一个模型放进谐振子阱，问题就从「无穷晶体有几支」变成「有限系统有哪些模」。
先用纯接触气体验代码。一维 Thomas-Fermi 气体的集体模频率有解析式 $\omega_n=\omega_x\sqrt{n(n+1)/2}$，即 1、$\sqrt3$、$\sqrt6$、$\sqrt{10}$…；实空间 BdG 复现到 0.1031%。Kohn 定理要求质心模严格落在 $\omega_x$ 上、与相互作用无关，这一条在代码里对应恒等式 $L_+L_-(x\psi_0)=\omega_x^2(x\psi_0)$；数值给 1.000000 个阱频，而且 $x$ 的线性响应权重 1.000000 全落在这一支上。这个权重检验一开始是失败的（$x$ 的响应有约一成五漏到 $\sqrt6$ 那一支上），原因是 BdG 的两个算符配对反了——正确的关系是 $\omega\chi=L_+\varphi$、$\omega\varphi=L_-\chi$，密度本征矢要用 $\varphi=L_-^{1/2}\chi_S/\sqrt\omega$。改对之后权重才归一。同一套程序在 BEC 一侧给出 $x^2$ 的响应 100.000% 落在单一模式 1.7322 $\omega_x$ 上——这正是 Pisa 组在超固体转变之前观察到的情形。3
阱对两条对称性的处理并不对称：
- 相位那一条：阱不破坏 U(1)，只把长波截断，于是最低的一支变成呼吸模，频率是个由阱定的有限数。
- 平移那一条：阱破坏平移，但破坏得极弱。在本文的几何里，晶体整体相对阱滑移的那一支落到数值零：$\omega^2/\omega_x^2$ 最负只到 $-7\times10^{-5}$（即 $|\omega|/\omega_x<0.01$）。用一个完全独立的静态办法核过同一件事——把晶体整体平移 0、1/4、1/2 个晶格常数后各自长时间弛豫，总能量在一个周期内的变化相对值是 $1.1\times10^{-8}$（17 个液滴）与 $1.0\times10^{-8}$（21 个液滴）。也就是说，这个尺寸的晶体在阱里基本是自由滑动的。
这里必须报告一处对不上。 Pisa 组与 Innsbruck 组看到的是轴向呼吸模在进入超固体区时明显分成两支。34 本文的阱里没有出现同样强度的分岔：核心对比度到 0.53 时 $x^2$ 的权重仍有 99.1% 压在第一支上，到 0.81 时第二支才拿到 9.9%，一直要到对比度 0.89 才变成 61.8% 对 35.8%。差别的来源大概率是液滴数：他们的云里只有几个液滴（Stuttgart 组的基态明确是三个液滴的阵列，Pisa 组在液滴晶体一侧是两个自束缚液滴），本文的阱里有 15 到 21 个，重叠积分把 $x^2$ 的权重压在低频那一族上。同理，Guo 等人报告的反相模 5.6 Hz（阱频 30 Hz，比值 0.19）是一个三液滴的有限尺寸数，1 不是无穷系统的某个极限——本文的十几液滴几何给出的同一支已经落到数值零。这一节的结论因此不是「实验错了」，而是：这套观测量对几何极其敏感，跨尺寸搬运它之前得先说清液滴数。
耗散：最长的波先不再传播
阻尼进来之后，情况不是「所有模都衰减得快一点」。把晶体峰当作阻尼耦合振子链，色散是5
根号里的东西在小 $q$ 处一定为负。也就是说：过阻尼首先发生在最长的波长上。而 Goldstone 模按定义就住在 $q\to0$，所以耗散最先拿掉的正是它。
这个「最先」有多先，取决于 $\Gamma$ 占带宽的比例。$\Gamma/\hbar\omega_0=0.05$ 时，波长超过 62.8 个晶胞 的模全部过阻尼；0.15 时是 20.9 个晶胞；0.30 时是 10.3 个。在过阻尼一侧展开，$\omega\to-\mathrm{i}\,c^2q^2/(2\Gamma)$——一支纯扩散模。
于是「测到 $\omega=-\mathrm{i}\zeta q^2$」这件事本身并不能区分两种情形：这个方向压根没有回复力（真正的近晶弯曲模），还是有回复力但被阻尼压过去了。这不是空谈：受驱动气体那篇报告横向支是纯扩散的，$\zeta=800(130)\ \mu\mathrm{m}^2/\mathrm{s}$，测到的最大波数 $q\le0.35\ \mu\mathrm{m}^{-1}$。2 把这两个数代进过阻尼条件，任何大于 0.560 μm/ms 的横向声速都与这批数据相容——而他们自己测到的纵向晶格速度 1.83(3) μm/ms 就落在这个区间里。数据本身分不开「没有横向刚度」与「有刚度但过阻尼」。
已发表的数据自洽吗
受驱动的钾气体那篇给了五个数：三个速度（$c_+=1.94(5)$、$c_-=1.50(2)$、$c_\kappa=1.66(2)$ μm/ms）与两个由它们推出的量（$f_s=94(1)\%$、$B/\rho_n=3.3(2)$）。2 既然只有三个独立，就可以正反各走一遍，两条路都不需要额外拟合参数：
- 正向（把 $c_\kappa$、$B/\rho_n$、$f_s$ 代回公式）：$c_+=1.9532$、$c_-=1.4969$；
- 反演（只用三个速度）：$B/\rho_n=3.2580$、$f_s=0.94323$。
两条路都落在他们给的误差棒里。误差预算按三个速度各自的实验误差单独传递，合成给 $\delta f_s=0.0114$——与他们报告的 1% 一致。
更要紧的是那个反事实。把 $f_s$ 强行拨到 1、其余不动，两支正好解耦，劈裂只剩 0.1566；实测劈裂 0.4400，是前者的 2.81 倍。也就是说，被测到的那个劈裂本身就是 $1-f_s$ 的读数，$f_s$ 不是从别处引入的拟合参数。
顺带能判掉一个偷懒的写法：如果只做 Leggett 修正、把低支写成 $c_-=\sqrt{f_s}\,c_\kappa$，得到 1.6094，而实测是 1.50(2)——高出七个百分点，远在误差棒之外。层压缩模量必须进公式，这一步省不掉。
顺带一提，「层模量必须进公式」这一句他们正文自己也点了：与那些用外加晶格做出各向异性超流分数的实验不同，这里的层压缩率对低支有显著贡献，所以 $c_-\ne\sqrt{f_s}c_\kappa$。2
还有一处值得记下来：正弦调制的 Leggett 上界只依赖对比度，他们的三个对比度 0.23/0.25/0.31 分别给出 0.973/0.968/0.951，而他们测到的 $f_s$ 在误差棒内不随对比度变，三次都是 0.94(1)，正好压在最低那个上界之下。原文把这个偏离称作「小得出乎意料」，并点名了两个未被计入的效应（相位与密度调制本身在振荡；动量的方向性再分配会增大正常分量）。2 本文只补一句判据上的话：Leggett 上界随对比度走、实测值不走，这两条趋势的分歧本身就是可测的——把对比度扫得更宽，若实测 $f_s$ 仍不动，那它与「由对比度决定的几何超流分数」就是两回事，而不只是差了一点。此外，受驱动的稳态一般不是热力学相，2 所以这套两流体语言在这里是一种有效描述，不是把它认定成平衡超固体。
同一把尺子去量已发表的比值，先得问清是哪两支
上面那条闭合关系还能反过来用一次。两支速度的比值 $c_+/c_-$ 只依赖两个无量纲量：模量比 $(B/\rho_n)/(K/\rho)$ 与超流分数。把模量比一律取受驱动气体的值，一个已发表的两支比值就能读成一个 $f_s$：
| 系统与配对 | 两支之比 | 按同一模量比反推的 $f_s$ |
|---|---|---|
| Pisa 组：晶格（$\bar k$）/超流（$A_k$）3 | 1.307 | 0.939 |
| 受驱动钾气体：$c_+/c_-$2 | 1.293 | 0.944 |
| Innsbruck 组：实验主成分 PC2/PC14 | 1.268 | 0.953 |
| Innsbruck 组：eGPE 混合模/相位模4 | 1.236 | 0.964 |
| Innsbruck 组：eGPE 晶体模/相位模4 | 1.673 | 0.782 |
前四行落在 0.94—0.96 的一小段里，看着很像一次跨体系的一致性检验。但最后一行说明这个印象有多脆：同一篇论文、同一组理论频率，只是把配对从「相位—混合」换成「相位—晶体」，同一条关系要求的 $f_s$ 就从 0.96 掉到 0.78。
这不是算错了，是配对本身的问题。Innsbruck 组给出的第 2、3、4 低偶宇称模分别是相位型、混合型、晶体型（40.3、49.8、67.4 Hz），而他们的阱激发方式只把第 2、3 支显著地激发起来——实验主成分 PC1、PC2 的 41(1) 与 52(5) Hz 对应的是相位模与混合模，不是相位模与晶体模。4 闭合关系讲的是两支 Goldstone 模；一个混合模不是其中之一。
所以这一节的结论不是「四个体系都给出 $f_s\approx0.95$」，而是：
- 闭合关系确实把「两支分得多开」与「超流分数」锁在一起，锁得很紧——比值从 1.236 动到 1.673，$f_s$ 就从 0.964 掉到 0.782。
- 正因为锁得紧，用它之前必须先确认手上的两支到底是不是那两支。已发表的「两支结构」里，有的是长波声速对（受驱动气体），有的是阱里两个可观测量的振荡频率（Pisa 组的 $\bar k$ 与 $A_k$），有的是被同一次激发同时激起的两个离散模（Innsbruck 组）。它们不能不加区分地放进同一张表。
- 反过来这也给出一条可用的判据：若某天有人报告一个 2 以上的两支比值，同一条关系会要求 $f_s$ 掉到三分之二以下，那就该先去查是不是把混合模、有限尺寸的高阶模或驱动边带当成了第二支 Goldstone 模。
顺便说明为什么这条反推能做：闭合关系里五个数只有三个独立，比值又消掉一个总体标度，所以剩下的自由度恰好是「模量比」与「超流分数」两个。给定一个，另一个就被比值定死。这是本文全篇的同一个论点在另一个方向上的用法——也是同一个论点在被误用时会有多贵的一次演示。
边界、反例与可检查的预期
没有覆盖的： 全部数值都在一维、零温、平均场、纯排斥软核上。没有偶极各向异性，没有 LHY 修正，没有有限温度，没有真正的输运计算——耗散那一节用的是别人发表的阻尼链模型，不是本文自己的动力学。二维与三维的情形完全在范围之外，而正是在那里超流分数会高于一维的 Leggett 值（电流可以绕开低密度区），本文关于「扭转与 Leggett 严格重合」的那一条不能搬过去。
「看到两支」这条判据本身的强度是有限的。 本文把它加强成闭合关系，但闭合关系要真的用起来，需要三个静态量都被独立测到。受驱动气体那篇满足这个条件；偶极超固体的两篇报告的是阱里的离散模频率，没有独立的层压缩模量，所以上一节的反推只能是反事实映射，不能当作对它们的检验。
反例在本篇内部： 束缚那一节的阱里，同一个模型没有复现偶极实验那种强度的呼吸模分岔。如果只报告环上那一段（闭合公式对到 2%），会给人一种「这套描述到处都成立」的印象。实际情况是：换一个液滴数，同一个观测量的表现就完全不同——十几个液滴的云里，晶体滑移那一支已经落到数值零，而三液滴的云里它是 5.6 Hz 的一个可测量。
可检查的预期：
- 同一台受驱动气体装置，把对比度扫得更宽。 现有的三个对比度 0.23/0.25/0.31 太密，测出的 $f_s$ 在误差棒内不动，而正弦 Leggett 上界在这一段只从 0.973 走到 0.951——两者分不开。若能做到 0.5 以上，Leggett 上界会掉到 $\sqrt{1-0.5^2}$，与 0.94 的差距拉开到接近 0.1，远大于现在的误差棒。本文的预期是实测值会跟着往下走但走得比上界慢（层模量与非平衡效应都往这个方向推）；若它继续不动，说明这个受驱动态的「超流分数」与由对比度决定的几何超流分数是两回事，而不只是差了一点。这一条是本文与现有三点数据之间唯一一处有张力的地方，写在这里正是为了让它可判。
- 横向支。 把横向的可测波数上限从 0.35 推到 1.0 μm$^{-1}$，若横向确有刚度，$\omega=-\mathrm{i}\zeta q^2$ 应当在 $q\approx\Gamma/(\hbar c_\perp)$ 附近转成有实部的传播模；若推到 1.0 仍是纯扩散，横向声速的下界就从 0.560 抬到 1.6 μm/ms，那时纵向 1.83 μm/ms 也快被排除了，「没有横向刚度」才成为有内容的结论。
- 偶极超固体的液滴数扫描。 本文预言晶体滑移那一支的频率随液滴数快速下降：三液滴的云里它是 0.19 个阱频（Stuttgart 组的模拟值），而在本文十七液滴的一维云里，把晶体整体滑过半个晶格常数的总能量代价相对值只有 $10^{-8}$，对应频率已在数值零上。在同一台机器上把液滴数从 3 加到 6 再到 9，这一支应当单调下移且很快低于分辨率；若它反而稳在某个有限值上，说明阱以外还有别的东西在钉住晶体。
- 外加共度晶格。 在任何一个超固体上加一条与自发周期共度的浅晶格，晶格支的谱隙应按 $V_L^{1/2}$ 张开（本文数值 0.4955），相位支不开缝。这一条是分项的：两支都开缝就说明 U(1) 也被外界固定了。
如果被推翻： 只要在一个三个静态量都被独立测到的体系上，闭合关系的两边差到远超实验误差，本篇的主线就错了。反过来，本篇没有、也不能证明「看到两支线性模就是超固体」——束缚一节与比值一节给的正是这种推断会在什么地方失效。
数据与代码
复算脚本 research/calculations/collective_order_new_modes.py，输出在 research/assets/2026-09-15-collective-order-new-modes/（results.json 与 12 个 CSV、3 张图）。全程无随机数，两次完整运行在本文引用的所有有效数字上一致。原始文献在 evidence/2026-09-15-collective-order-new-modes/。