先把“附近消化”拆成可检查的问题
设一群元件彼此略微合不拢。把小块各自检查一遍，错配的幅度都差不多；拼成更大结构后，一种只留下零散的局部应力，另一种却让整体越来越难以放松。原因可能在连接，也可能在错配的方向如何组织。
但“影响很远”至少有三种意思：扩大系统时残余代价增长得很快；有应力的连接形成跨系统路径；改变一个局部元件后，远处发生明显响应。它们可以相关，却不是同一个判据。一个已经充满应力的结构，未必对同样的小扰动拥有更长的线性响应范围。
2025年的不相容图研究提供了可明确求解的入口：边上的偏好差经过节点调节，留下不能消除的闭环流。原研究同时讨论错配累积、结构与流的两种贯通，以及组装后的长程响应。本篇核其发表接受稿和固定旧版附录，再做三组分开的对照：固定图、可变占据图、实际切边。12
这里的图是每个节点只有一个标量自由度的模型。可把节点量理解为电势，或相对于既定参考态的标量滑移；图中节点画在平面上，不意味着它就是那些位置上的二维中心力弹簧框架。真实框架需要含边方向的几何相容矩阵，有限转角还会改变该矩阵。前篇已经展示了这条边界。
一个闭环怎样把局部偏好变成残余
给每条边指定方向。关联矩阵$C$把节点量$u$变成边上的差$Cu$；$w_e$是边偏好的差。统一取单位刚度，允许各节点自由调节，没有外部源汇。最低残余由
决定。令$P$为边空间中到$\ker C^T$的正交投影，则
把$i$叫作不相容流，是因为它在每个节点都满足平衡，却不能由任何节点量的差消除。标量弹性类比的边力是$-i$、储能是$Q/2$；原电路的单位电阻耗散功率是$Q$。本文用$Q$作为无量纲二次代价，原组装模型的统计权重使用$\alpha Q$，不把功率和静态储能的物理单位混为一谈。
最小例子是由四条单位边组成的一个环。沿环取一致方向，闭合差为
平衡要求四边流相同，故$i_e=\Phi/4$，代价为
单条边的偏好可以通过相邻节点改变来分摊；绕完整一圈后不能闭合的那部分留下来。树没有环，任何标量偏好都可逐个节点满足，因而在上述自由边界下$Q=0$。有环则提供残余方向，但实际是否有残余仍取决于$w$在这些方向上的分量。1
一个元件的偏好差有多大，与它给闭环贡献多少冲突，不应混为一个“局部强度”。
同样大小的闭合差，方向怎样改变累积
考虑$n\times n$节点的完整方格图，只有最近邻边，开放边界；共有$n^2$节点、$2n(n-1)$边、$(n-1)^2$个小方格。所有边刚度相同，节点都自由调节。
令$F$逐行记录每个小方格的逆时针闭合和，$\phi=Fw$。这些小方格构成独立环路基，但没有正交归一。于是应解
并计算
直接用$\|\phi\|^2$当作$Q$会漏掉环路共享边的耦合。本库用节点最小二乘、独立SVD环路基和上述面变量解交叉核对。3
现在比较两种每个小方格闭合差绝对值都恰为1的配置：
- 所有小方格都取$\phi=-1$，对应原模型B的均匀有向场。
- 每个小方格独立取$\phi=+1$或$-1$。这是本库专设的局部幅值对照，不是原论文模型A。
连接、边数、刚度和每格闭合差幅值全部相同，变化仅在闭合差的空间方向统计。小格同向时，大环内部共享边相消，外围总闭合差正比于包围的小格数；独立正负时，外围总闭合差的典型幅度只按小格数的平方根增长。
在$n=16$时，同向配置的$Q=2274.280$；独立正负面闭合差的精确期望为108.386。图中右侧一次样本的$Q=153.99$，高于其系综均值。两者分别记录，避免用一个好看的样本充当典型统计结果。
同向配置的$H$是小方格上的离散泊松算子：对角为4，共边小格之间为−1，外界面变量取零。扩大正方形时，常量右端产生量级为$n^2$的$\psi$，相邻差即边流的量级为$n$；边数为$n^2$量级，所以$Q$为$n^4$量级。原发表接受稿也给出满正方形的四次增长。1
随机面闭合差满足$\mathbb E[\phi\phi^T]=I$，因此
二维低频模式使这个和具有$n^2\log n$量级的增长。随机方向减弱了累积，但本对照并没有得到严格有限的屏蔽长度，也没有让大系统代价保持常数。
本库实际算到$n=48$；在$n=12$至48的五个尺寸上，双对数斜率分别为4.015和2.345。前者符合四次增长，后者含对数修正和有限尺寸效应，不能把2.345命名为新临界指数。
若匹配的是边偏好，结论怎样变
上面的“局部错配相同”指小格闭合差，而不是每条边的$w_e$。
同向场可用居中的Landau形式表示：水平边$w_e=0$，竖直边$w_e=-(x-(n-1)/2)$。每格闭合差始终为−1，但这个表达下的边偏好均方根为
会随$n$增长。若把整场除以这个均方根，使每个尺寸的边偏好RMS固定为1，则每格闭合差也被缩小，$Q$改为约$n^2$增长。本库同一有限区间的斜率为2.010。3
这个归一化改变了实验问题。它不能用来推翻“固定每格闭合差时的四次累积”，也不能将四次累积直接解释为固定每条边偏好的同资源比较。
还有一个条件：$w\mapsto w+Cq$不会改变$i$或$Q$，却可以改变边偏好RMS。因此RMS控制必须声明所用参考态；闭合差$\phi$则不受这类相容变化影响。本文的RMS比较固定使用上述居中表达，没有把依赖参考表达的量说成唯一内禀错配强度。
原模型A在完整固定图上的边偏好独立取$\pm1$，此时
恰等于独立环路数。其相邻面闭合差不独立：共享随机边以相反符号进入两个小格，给出负相关；单格闭合差RMS为2。即便把边偏好减半以匹配单格RMS，相关结构仍然存在。因此独立随机边、独立随机面和同向面是三个不同的统计控制。
“无序帮助释放应力”为什么需要说明抽样方式
在固定图上，将同向偏好$w_0$改为$w_0+\gamma\xi$，其中边噪声独立取$\pm1$、均值为零。由投影线性性，
对独立噪声平均，交叉项为零，于是
在16×16完整图上，$\operatorname{tr}P=225$。本库实际抽取2000套无序；$\gamma=1$时，平均代价2501.747，解析期望2499.280。约0.85%的样本低于原同向代价2274.280，所以个别无序确实可以抵消，但独立无偏加入的平均效果是增加代价。
原模型C还允许粒子占据和边偏好随添加/移除及能量筛选共同变化。发表正文报告无序介导的结构、相关和累积性质变化；旧附录B.4将一个经过组装选择的构形分解为同向流和随机流，展示两者抵消。12
这与固定图独立抽噪声的平均不是相同系综。一个可检查的机制桥梁是：组装偏好低代价的连接和无序实现，使条件分布中的交叉项偏向负值。本文证明了未选择分布的平均公式，并核原文条件分解；没有独立重做模型C的大系统生长统计，也未定量证明选择效应在原相图中占多少贡献。
结构连通之后，应力为何仍可能不贯通
一个精确见证是两只四边环，中间用三条桥边连接。两环各沿环有单位偏好，桥边偏好为零。结构从左端连到右端；每个环中有单位流，但三条桥上流恰为零。
原因不是桥太软，而是无源汇平衡条件：切开任意桥边后，图分为两块；对其中一块把节点平衡式求和，内部边相消，只剩跨割的桥流，所以桥流必须为零。
桥可传递外部加载，却不能在这套自由、无外源条件下携带闭环残余。给左右端另施单位标量位移差，端间等效刚度为$3/13=0.230769$；这时边界反力不为零，已经是另一场实验。
切断中间桥后，端间刚度降为零，但两环的$Q$仍为8。反过来，切掉有残余流的环边可以释放该环代价，却不等于原结构资源未变。3
本文定义“流贯通”为：只保留$|i_e|>10^{-10}$的边，该子图存在连接全域左边与右边的路径。它比“跨域连通簇里任意位置有非零流”更严格。对桥例，阈值从$10^{-12}$到$10^{-6}$改变时结论不变。原旧附录文字判据没有给出边阈值和可执行分类代码，因此本文不称自己的分类逐行复刻原实现。
可变连接：把概率与一个构形分开
桥例证明两种判据可以不同，却不说明在组装中有多常见。为此本库另按原模型B建立可变占据对照。
在3×3和4×4开放方格上，格点可占据或空缺，只有两端都占据时边才存在，竖直偏好$w=-x$、水平为零。每个占据态先求最低$Q$，再赋予精确权重
本文枚举了512和65536个状态，没有以有限采样代替这个有限状态和；这里的精确系综指完整求和，数值仍以浮点最小二乘计算，独立SVD核对的最大代价误差小于$3.5\times10^{-14}$。左右边界始终是完整方格两侧，不能随实际占据点的最小/最大横坐标缩小，否则局部小团也可能被误判为贯通。
在4×4、$\beta\mu=1$时：
| $\beta\alpha$ | 平均占据率 | 结构贯通概率$P_s$ | 非零流边贯通概率$P_c$ |
|---|---|---|---|
| 0.1 | 0.718557 | 0.834631 | 0.262627 |
| 1 | 0.664661 | 0.744195 | 0.072002 |
| 4 | 0.620403 | 0.640814 | 0.003134 |
在这些条件下，增加错配代价权重更强地抑制携带跨域流的结构，而普通连通仍可保留。每个状态都满足流贯通事件包含于结构贯通事件；概率差异不是把不同边界拼起来的结果。
本库还按随机格点翻转、Metropolis接受率执行八条独立链，四条从空图、四条从满图开始。在$\beta\alpha=\beta\mu=1$时，各链120000次更新，丢弃前20000次，每16次留一个观测；每条保留6250个相关观测。结构贯通估计0.74532，非零流边贯通估计0.07280，与精确值的偏差分别为独立链均值标准误的0.63和0.53倍。另用100与250个观测的分块检查误差量级。3
这核对的是方程和小系统采样实现。3×3和4×4结果有明显尺寸差异，都是平滑的有限状态概率，不能据此宣称热力学相变位置、临界指数或原论文50×50图的两条相边界已复现。旧附录的50×50、100样本、贯通概率过0.5拟合，以及模型B的100个扫描步，与本文运行规模明确分开。2
总量累积强，为什么局部响应未必更远
同一个固定线性图上，对一条边施加局部偏好变化$\delta w$，有
它依赖连接和刚度形成的$P$，不依赖原背景是同向还是随机错配。因此背景应力场差别很大，不足以证明同一局部扰动的响应核也不同。
本库在12×12图上选同一条内部水平边，从$(3,2)$到$(4,2)$，给它增加0.2偏好差。两种背景的$\delta i$最大差约$1.2\times10^{-14}$；响应范数都为0.139920。以扰动边中心为原点、按边中心距排序，包含90%响应平方和的半径都为1个格距。3
这个90%半径只是一项有限体系量，不是严格屏蔽长度。剩余10%可以延伸到远处，换位置、边界、测量权重或非线性状态也可能改变结果。
原发表稿的长程响应实验则先在已组装结构的边界空位加入一个粒子，之后允许零温占据重排；新增粒子和边改变$P$，后续重排又继续改变结构。原文报告即时能量增量随尺寸约为$L^{1.7}$，并展示系统范围重排。1
本文核的是该干预实际改了什么，并给出固定$P$时的精确反例；没有重新拟合1.7，也未把结构重排等同于固定图内一阶弹性响应。要区分机制，应冻结连接测响应核、开放连接测重排，再记录新增资源与驱动协议。
切边释放多少，也不能只看前后图
切边不仅改变偏好向量，还改变允许平衡流的子空间。单位边权图中，若被删边$e$属于环且$P_{ee}>0$，重新平衡的精确代价释放为
这是删掉一个二次残差项后重新最小化的结果；$P_{ee}$是该边在不相容子空间中的投影权重。桥的$P_{ee}=i_e=0$，不能代入形成$0/0$，应单独用前述割集论证。
仍在12×12图上切掉与局部扰动相同的内部边：
| 背景 | 删前该边流 | 释放$Q$ | 剩余边响应范数 | 剩余边90%响应半径 |
|---|---|---|---|---|
| 同向 | −1.752230 | 6.273090 | 1.789631 | 2 |
| 独立随机边样本 | −0.059381 | 0.007204 | 0.060648 | 2 |
两种背景释放量相差很大，但除以各自原边流后，剩余边响应形状一致，最大差约$3.6\times10^{-14}$。主要差异来自切口处原有载荷幅度，没有在这里产生新的传播核。
操作前后节点数不变、边数减少1、其余边刚度仍各为1。另做左右全边界单位标量位移差实验，端间刚度从1.090909降到1.074438。本文把刚度变化与残余释放同时记录，避免将网络变软与背景错配组织混在一起。实际断裂功、工具功和有限变形不包含在理想删边模型中。
回到材料时，还要保留哪些条件
本文能稳固回答的是：指定线性图模型中，局部闭合差的相关组织、可携带流的环路结构，以及组装选择的统计条件，足以让总残余代价和贯通性质不同。它们并不自动指定真实薄片、晶体或三维框架的应力场。
用于材料时，需要重新确认自然偏好如何进入几何相容矩阵、弯曲或转角能否提供新放松方向、刚度是否保持正定，以及接触、缺陷和边界是否变化。即使拓扑图相同，不同边方向或预应力也可能改变实际响应核；单纯换固定背景偏好则未必改变线性核。
三项预期可直接检查。若固定线性算子并重复同一局部偏好扰动，背景改变后响应仍应相同；若不同，需检查几何、刚度或非线性状态是否已变。若固定图独立加入零均值无序，平均$Q$应按上式增加；若平均下降，需检查噪声偏置、选择或连接变化。若只要求普通结构连通，桥接树枝可以满足；要携带无源残余流，还须核非零闭环流子图的具体路径。
仍未决的部分包括：原模型C的大系统条件抵消如何随参数定量改变；原数值实现对流贯通的精确分类与误差阈值；加入真实几何、非线性、可弯曲模式和结构重排后，哪些响应范围仍保留。固定图恒等式和有限系综结果不能替这些问题预填答案。
来源与复核
<a id="source-s1"></a> [1] Ortiz-Tavárez, Yang, Kotov & Mao (2025). Statistical Mechanics of Frustrated Assemblies and Incompatible Graphs, Physical Review Letters 134, 147401。原始理论/模拟研究。已核发表接受稿的图分解、模型、贯通/相关结果及添加粒子的响应协议；未取得原蒙特卡洛样本或运行作者代码。
<a id="source-s2"></a> [2] 同作者 (2024), 固定作者v1。 arXiv:2407.18210v1，2024-07-25，PDF含附录A/B。核Landau偏好、占据翻转/接受率、相边界与相关方法及模型C分解。它是旧稿，不称2025发表附件逐字同版；本次出版方附件返回401，另一个学位论文入口返回404。
<a id="source-s3"></a> [3] 本库实际执行的解析与数值对照 (2026)。 固定图结果、有限系综结果、固定图输入/场、系综输入/链观测。代码为research/calculations中的incompatible_stress_range.py、_ensemble.py、_audit.py、_figures.py。独立SVD/面解/节点解、1014个有限状态的独立DFS与SVD、详细平衡、零代价权重极限、删边恒等式实际核对；不是独立审阅或完整原实验复现。原件、获取失败和作者自审保存在本篇evidence与sources记录。