「倒放回不去」这句话要拆成几件能分别判的事
在固体核磁共振里，一串射频脉冲可以把多自旋的偶极哈密顿量整体反号，让体系沿原路往回走；在超导处理器上，一条随机线路可以逐门倒着执行一遍——2025 年已经有 65 到 103 个比特上跑两轮正反演化的实验。3两种做法都叫「时间反转」，量的都是同一个东西：Loschmidt 回波——正向走 $t$、反向走 $t$ 之后，原来那个可观测量还剩多少。
理想情形 $\tilde H=H$、没有环境，$F\equiv1$。实际测到的是一条衰减曲线。问题是：这条曲线本身不说明是谁把它压下去的。
至少有三件事都能把它压下去，而且三件事对「能不能改进」给出完全相反的答案：
- 相干误差——反向的哈密顿量与正向差一点（$\tilde H=H+\delta H$）。整个过程仍然是幺正的，原则上再加一层控制还能纠回来。
- 非相干误差——体系与没被反转的环境交换了信息。反转体系本身撤不掉这一部分。
- 看的是什么——有限的读数只看得到一部分自由度。局部读数恢复得好，不等于整体状态恢复了。
入口论文提出的办法是倒放很多遍：正反、正反、……重复 $n$ 轮，再看回波怎样随 $n$ 变。1 它用 scramblon 理论给出闭式：非相干误差按 $n$ 线性累积，相干误差在短时按 $n^2$、长时回到 $n$。
本文做四件事：独立把 $n^2$ 这一条在两个模型里验一遍（其中一个故意放在它的推导假设之外，另一个是它自己用的 SYK）；说清楚这条判据真正量的是什么——不是相干性，是误差在轮与轮之间的关联，本文给出一个不含拟合参数的闭式并验到 2%；把它和一个方向相反的实验结果放到一起——同一年的固体 NMR 实验说回波的衰减率有一个与扰动强度无关的下限 2；以及说清楚哪些没验到：长时从 $n^2$ 转回 $n$ 的那条过渡，本文两个模型都够不着。
本文的全部数值都在自己写的求解器里，模型是一条 $L$ 个自旋的倾斜场 Ising 链（$J=1$、$h_x=1.05$、$h_z=0.5$，开边界）与有限 $N$ 的 SYK 模型，没有对任何真实装置标定。
一次回波的衰减率原理上就分不清是哪一种误差
把两类误差做成一对严格可比的实验：误差算符的形状、强度、随机种子全都一样，唯一的区别是第二轮及以后用的是不是同一份误差。
- 相干误差：每一轮的反向演化都用同一个 $\delta H$。
- 非相干误差：每一轮的反向演化各抽一个独立的 $\delta H$（同一分布、同一强度）。
这样构造的好处是：第一轮上两者逐位相同。本文实测 $\max|F_1^{\rm coh}-F_1^{\rm inc}|=0$——不是「差不多」，是同一批浮点数：两种模式的第 0 轮一律调用同一个 base，第一轮的表达式里根本没有第二个 $\delta H$ 可以不同。
这不是这个模型的巧合，而是定义使然：一轮里只出现一个 $\delta H$，「以后还会不会再用同一个」这件事根本没进入表达式。只做一次时间反转，衰减曲线里就是没有区分两类误差的信息。
入口论文的微扰展开把这一点写得更清楚：一次回波的两项都正比于同一个 OTOC，只是系数不同——
两项都随 $\mathrm e^{\varkappa t}$ 放大，指数相同。1 调一调强度就能让两条曲线重合，所以看一条曲线的形状或衰减率都定不了因。
倒放几遍才分得开：n² 与 n
入口论文的做法是重复 $n$ 轮正反演化。微扰层面的计数很直接：非相干误差的一对跳跃算符必须落在同一段演化里，于是贡献正比于段数 $n$；而相干误差的两次插入可以落在不同轮的反向支上，$n$ 轮里有 $n^2$ 种配对。1
本文在一条 $L=9$ 的倾斜场 Ising 链上直接量这个指数：把 $\ln\big[(1-F_n)/(1-F_1)\big]$ 对 $\ln n$（$n=2,3,4$）回归。
| $t$ | $F_1$ | $F_2$ 相干 | $F_4$ 相干 | $F_2$ 非相干 | $F_4$ 非相干 | $p$ 相干 | $p$ 非相干 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.9984 | 0.9934 | 0.9741 | 0.9968 | 0.9932 | 1.985 | 1.080 |
| 2 | 0.9944 | 0.9779 | 0.9149 | 0.9892 | 0.9775 | 1.944 | 1.053 |
| 4 | 0.9818 | 0.9296 | 0.7524 | 0.9653 | 0.9288 | 1.818 | 1.035 |
| 8 | 0.9459 | 0.8034 | 0.4489 | 0.8992 | 0.7985 | 1.496 | 0.996 |
| 16 | 0.8588 | 0.5615 | 0.1979 | 0.7446 | 0.5555 | 0.886 | 0.799 |
| 24 | 0.7675 | 0.3866 | 0.1551 | 0.5959 | 0.3909 | 0.475 | 0.594 |
| 32 | 0.6801 | 0.2775 | 0.1515 | 0.4702 | 0.2925 | 0.241 | 0.420 |
| 48 | 0.5266 | 0.1839 | 0.1494 | 0.3022 | 0.2014 | 0.062 | 0.196 |
| 64 | 0.4033 | 0.1609 | 0.1512 | 0.2189 | 0.1702 | 0.017 | 0.088 |
| 120 | 0.1995 | 0.1545 | 0.1533 | 0.1598 | 0.1494 | 0.002 | 0.018 |
24 个误差实现，精确求迹；完整的 14 个时间点见随文 CSV。表里有两件事要分开读。
浅衰减处，两个指数分得很开。 在 $F_1=0.995$（$t\approx1$）上，相干是 1.950、非相干是 1.057——离 2 和 1 都不到 5%。这两个数是在没有任何拟合参数的情况下直接量出来的：既没有调 $\varkappa$，也没有调 $\Delta_O$。
深衰减处两个指数都往 0 掉，这是假象，不能读。 $1-F_n$ 和 $1-F_1$ 都被同一个长时平台（这条链上约 0.15）卡住，比值必然趋于 1、指数必然趋于 0。所以这条判据只在 $F_1$ 还高的一段有效——本文把 $p$ 当数用时只取最浅的一档（$F_1=0.995$），更深处的读数只作对照、不承载结论。
指数 $p$ 只是个代理量，真正干净的判据是下面那条。 $(1-F_n)/(1-F_1)$ 等于 $n^p$ 只在线性响应里成立。入口论文的闭式是 $F_n=f_O(x_n)$，两类误差的差别全在自变量上：非相干是 $x_n=n\gamma\mathrm e^{\varkappa t}$，相干是 $x_n=n^2\gamma\mathrm e^{\varkappa t}$。$f_O$ 一旦离开线性段，$1-F_n$ 就不再正比于 $x_n$，读出来的 $p$ 必然小于 2——而且相干那一侧先失效，因为它的自变量涨了 $n^2=16$ 倍、非相干只涨 $n=4$ 倍。所以表里相干从 1.985 掉到 1.496 而非相干还贴着 1，这不是两者物理不同，只是相干先走出了线性段。
这一条在入口论文的推导假设之外也成立。 它的闭式建立在全连接与 $1/N$ 展开上；这里是一维短程链，信息以光锥方式扩散，没有一个干净的量子 Lyapunov 指数。指数仍然是 1.950 与 1.057。入口论文在讨论一节明写，虽然它的推导取全连接，但微扰分析对任意相互作用体系都成立；本文这一段就是对那句话的一次独立检验。（它同一段还预期由此而来的二次到线性交叉也是普遍特征——那一条本文没能验到，见下文。）
不含任何拟合参数、而且在所有深度上都成立的那条核对。 既然差别全在自变量上，那么 $x_2^{\rm coh}=4\gamma\mathrm e^{\varkappa t}=x_4^{\rm inc}$，于是**「相干做 2 轮」应当逐点等于「非相干做 4 轮」**，不管 $f_O$ 长什么样、也不管衰减多深。实测：
| $t$ | 1 | 4 | 8 | 12 | 24 | 48 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\big|F_2^{\rm coh}-F_4^{\rm inc}\big|$ | 0.0002 | 0.0008 | 0.0049 | 0.0075 | 0.0043 | 0.0175 | 0.0005 |
| $\big|F_2^{\rm coh}-F_2^{\rm inc}\big|$ | 0.0034 | 0.0357 | 0.0958 | 0.1469 | 0.2093 | 0.1183 | 0.0169 |
在 $F_1>0.5$ 的一整段上，该重合的最大差 0.0176，不该重合的最大差 0.2094——差 12 倍。这条核对不经过任何回归，也不受 $f_O$ 饱和的影响，所以它比指数 $p$ 可靠得多；本文后面在 SYK 上用的也是它。
顺带说清楚本文没能验到的那一条。 入口论文还预言相干误差的指数本身会随时间从 2 过渡到 1——轮与轮之间的关联被扰乱动力学自己拆掉。1 若真发生，$F_2^{\rm coh}$ 就会离开 $F_4^{\rm inc}$ 往 $F_2^{\rm inc}$ 靠。上表里它自始至终贴着 $F_4^{\rm inc}$，一次也没往 $F_2^{\rm inc}$ 靠过。原因不难看：按闭式，这个过渡要等 $\gamma\mathrm e^{\varkappa t}\gtrsim1$ 才开始，而那时回波早已落到长时平台上，本文这两个模型都量不到了。所以本文只验证了 $n^2$ 这一段，对那条过渡既没有支持也没有反对。
换链长，浅衰减处的指数不动。
| $L$ | 实现数 | $p$ 相干 | $p$ 非相干 | $F_1=0.75$ 处 $p$ 相干 / 非相干 |
|---|---|---|---|---|
| 7 | 24（精确迹） | 1.953 | 1.095 | 0.405 / 0.601 |
| 8 | 24（精确迹） | 1.951 | 0.911 | 0.419 / 0.524 |
| 9 | 24（精确迹） | 1.950 | 1.057 | 0.428 / 0.559 |
| 10 | 8（精确迹） | 1.949 | 1.300 | 0.447 / 0.689 |
| 11 | 4×4 个随机态估迹 | 1.998 | 1.081 | —— |
相干那一列从 $L=7$ 到 $L=11$ 只在 1.949–1.998 之间动，没有系统漂移。四条精确求迹的链（$L=7,8,9,10$）给出 1.953、1.951、1.950、1.949——彼此只差 0.004。 这四条链的哈密顿量各不相同，可以当成对同一个量的四次准独立测量；散布这么小，说明它离 2 还差的那 2.5% 不是统计噪声，是系统偏差，来源正是上面那条 $f_O$ 饱和（第四节的闭式对照在关联系数 1.0 处也给出 −2.51%，是同一个数）。非相干那一列反过来，四条链给出 1.095、0.911、1.057、1.300，散布 0.39，远大于它离 1 的距离——那一列的偏差主要是统计的。非相干那一列抖得多（0.911–1.300），因为它的信号本身小一个量级——$1-F_n$ 只按 $n$ 长，$n\le4$ 时动态范围只有 4 倍，同样的实现数下统计误差占比大得多。$L=11$ 那一行用随机态估迹（$2^{11}=2048$ 维精确求迹太贵），只取 5 个时间点。
这条判据量的其实是「轮与轮之间有没有关联」
上一节的对照里，两类误差只差一件事：第二轮用的还是不是第一轮那份误差。指数 2 与 1 就是从这一件事来的。那么把这件事做成连续的旋钮，指数应当连续地走。
先把话说死一点。在线性响应里，每一轮的误差贡献一个振幅 $\varepsilon_r$，回波的亏损是这些振幅的平方和，于是
$C$ 就是误差在轮与轮之间的关联矩阵。$C_{rs}\equiv1$ 给 $n^2$，$C_{rs}=\delta_{rs}$ 给 $n$——教科书里的两个极端只是这个式子的两个端点。中间是连续的。
令第 $r$ 轮（$r\ge1$）的误差为
$\xi_r$ 彼此独立、与 $\delta H_0$ 同分布，第 0 轮仍用 $\delta H_0$。后续轮之间的相关系数是 $1-q$，$q=0$ 回到相干、$q=1$ 回到非相干，误差强度不随 $q$ 变。把这个 $C$ 代进上式、按 $n=2,3,4$ 回归，就得到闭式预言。实测（浅衰减处，$L=9$，24 个实现）：
| 后续轮间相关系数 | 1.00 | 0.95 | 0.85 | 0.65 | 0.40 | 0.15 | 0.00 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 实测指数 $p$ | 1.950 | 1.937 | 1.898 | 1.804 | 1.648 | 1.409 | 1.057 |
| 闭式 $\sum_{r,s<n}C_{rs}$ | 2.000 | 1.977 | 1.928 | 1.817 | 1.642 | 1.380 | 1.000 |
| 相对差 | −2.51% | −2.03% | −1.56% | −0.75% | +0.35% | +2.07% | +5.75% |
七个点最大相对差 5.75%，去掉两个端点后 2.07%——而且这里没有任何拟合参数：闭式只用到关联矩阵，关联矩阵只用到构造 $\delta H_r$ 的那两个系数。指数不是在 2 和 1 两个值之间跳，而是沿着关联系数连续地走。
这说明「相干还是非相干」不是这条判据直接量到的东西。 它量到的是误差在整个协议的时长内有没有保持相关。两者在教科书的两个极端上重合，但在真实装置里最常见的那一档并不重合：慢漂移的经典噪声（$1/f$ 磁场、控制幅度的缓慢失准）在系综上是一个彻头彻尾的退相干通道，可是只要它的相关时间超过协议时长，每一轮拿到的就是同一份误差，判据会把它读成「相干」。
把这一条做成可控的：让误差按相关时间 $\tau$ 做 Ornstein–Uhlenbeck 关联，于是 $C_{rs}=\rho^{|r-s|}$、$\rho=\mathrm e^{-2t/\tau}$（一轮的时长是 $2t$）。同一个噪声源，在短的单程时间上被读成相干、在长的单程时间上被读成非相干（表里每格是「实测 / 闭式」）：
| $\tau$ | $t=1$ | $t=2$ | $t=3$ | $t=4$ |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 1.383 / 1.326 | 1.151 / 1.108 | 1.075 / 1.038 | 1.046 / 1.014 |
| 6 | 1.714 / 1.693 | 1.477 / 1.476 | 1.321 / 1.326 | 1.215 / 1.224 |
| 20 | 1.894 / 1.897 | 1.763 / 1.804 | 1.648 / 1.720 | 1.541 / 1.643 |
| 60 | 1.954 / 1.965 | 1.877 / 1.931 | 1.797 / 1.897 | 1.712 / 1.865 |
闭式只是 $2t/\tau$ 的函数——四条 $\tau$ 应当塌到同一条曲线上。浅衰减处（$F_1\ge0.97$，即表里这四列）确实塌上去了。再往深处就塌不上去了：把范围放宽到 $F_1>0.9$，最大相对差是 33.2%，出现在 $\tau=60$、$t=12$ 那一格（实测 1.098，闭式 1.643）。原因还是上一节那条——$\tau$ 越大越像相干，自变量涨 $n^2$ 倍，$f_O$ 越早离开线性段，读出来的 $p$ 就被往下拽。所以过渡的存在是稳的，过渡的位置会被衰减深度系统性地拉前。
这仍然把一个二分判断变成了一次测量：$p$ 从 2 滑到 1 的那一段就压在噪声的相关时间上。对实验来说这比「是相干还是非相干」有用得多——它直接告诉你 refocusing 还来不来得及。只是想把 $\tau$ 读准，得先在同一台装置上用已知相关时间的噪声标一次尺。
换到入口论文自己的模型：有限 N 的 SYK
上面两节都在短程链上做。入口论文验证用的是 SYK 模型，而且用的是大 $N$ 自洽方程。本文在有限 $N$ 的精确对角化上重做一遍，既是对表，也是看 $1/N$ 修正有多大。
$N$ 个 Majorana，$H=\sum_{a<b<c<d}J_{abcd}\chi_a\chi_b\chi_c\chi_d$，$\overline{J^2}=3!J^2/N^3$；误差取一份独立的同类耦合，强度 $\varepsilon=0.15$；观测量 $O=2\mathrm i\chi_1\chi_2$，与入口论文一致。轮间关联的构造与前面完全一样（相干＝每轮同一份，非相干＝每轮重抽）。
| $N$ | 维数 | 无序实现 | $p$ 相干 | $p$ 非相干 |
|---|---|---|---|---|
| 18 | 512 | 8 | 1.961 | 0.984 |
| 20 | 1024 | 6 | 1.959 | 0.983 |
换了模型、换了维数，浅衰减处的两个指数还是 1.96 与 0.98。全连接的四体相互作用和一维短程链给出同一对数——这两个体系除了「都是多体混沌」之外没什么共同点，说明这条判据确实只依赖于轮间关联的计数，不依赖于标度理论的细节。
那条不含拟合参数的核对在 SYK 上更干净（曲线见第七节末三联图的左图）。 直接比「相干两轮」与「非相干四轮」降到同一水平所需的时间：
| 回波水平 | 0.90 | 0.75 | 0.50 | 0.30 | 0.15 |
|---|---|---|---|---|---|
| 相干 2 轮 | 2.851 | 5.359 | 10.50 | 16.37 | 23.71 |
| 非相干 4 轮 | 2.880 | 5.443 | 10.81 | 17.35 | 25.66 |
| 非相干 2 轮 | 4.387 | 9.270 | 19.90 | 32.43 | 49.37 |
第一行与第二行相差不到一成（最深那一档 23.71 对 25.66 是最大的一次），第三行差了一倍。而且这个吻合一直保持到回波只剩 0.15——没有往第三行靠的迹象。入口论文预言相干误差在晚时会从 $n^2$ 转回 $n$，也就是第一行应当离开第二行、走向第三行；在本文能量到的这一整段里，它一次也没有动。按闭式这条过渡要等 $\gamma\mathrm e^{\varkappa t}\gtrsim1$，那时回波已经贴在平台上，有限 $N$ 的精确对角化够不着。这一段本文只能报「没量到」，不能报「不存在」。
入口论文的闭式在有限 $N$ 上拟合得并不好。 把非相干一侧的 $F_n(t)=1/(1+n\gamma\mathrm e^{\varkappa t})^{2\Delta_O}$ 当三参数模型去拟 $n=1,2,4$ 三条曲线，得到 $\gamma=9.34\times10^{-2}$、$\varkappa=0.121$、$2\Delta_O=0.530$，最大残差 0.243。这不奇怪：闭式是 $N\to\infty$ 的 scramblon 求和，$N=20$ 离那里还远，而且 $\varkappa$ 在有限 $N$ 上本来就不是一个干净的量。所以本文只把 SYK 用来检验对 $n$ 的标度，不拿它去验证闭式的函数形状。
把误差调小，回波就能一直变长吗
入口论文的闭式是 $F_n(t)=f_O\big(n\gamma\,\mathrm e^{\varkappa t}\big)$。回波掉到某个水平的时刻因此是
随误差强度按对数无界地变长：把 $\gamma$ 压低一个量级，$t_*$ 就多出 $\ln 10/\varkappa$。1
同一年的固体 NMR 实验给出的是相反方向的结论。Sánchez 等把偶极哈密顿量整体按 $\delta$ 缩放、同时让控制误差保持不变，量出
也就是说回波的衰减率有一个与扰动强度无关的下限，只由相互作用本身定。2 两句话不能同时对：一句说时标随 $\ln(1/\gamma)$ 发散，一句说它停在某个值上。
本文在自己的模型里把两个旋钮都扫一遍。$T_3$ 定义为回波降到 $1/\mathrm e$ 的时刻，$T_\Sigma$ 是只让误差项单独演化时同一观测量降到 $1/\mathrm e$ 的时刻，$T_2$ 是不做反转的自由衰减时刻。
旋钮一：固定哈密顿量，把误差调小
| $g$ | 0.020 | 0.035 | 0.060 | 0.100 | 0.180 | 0.300 | 0.500 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $T_3$（单体横场误差） | 466.9 | 253.5 | 135.8 | 71.09 | 31.30 | 15.03 | 7.316 |
| $T_3$（两体通用误差） | 841.9 | 467.4 | 257.8 | 140.2 | 63.15 | 28.32 | 11.69 |
$T_3$ 一路变长，25 倍的误差跨度里长了 64 倍与 72 倍，没有任何停下来的迹象。但它也不是按对数长的：
| 拟合形式 | 单体横场 | 两体通用 |
|---|---|---|
| $T_3\propto g^{-a}$，$a=$ | 1.301 | 1.317 |
| 该拟合的 $R^2$ | 0.9972 | 0.9913 |
| $T_3\approx a\ln(1/g)+b$ 的 $R^2$ | 0.8155 | 0.8305 |
幂律，不是对数（双对数图见第七节末三联图的中图，对数律在那里是明显弯的）。 两种完全不同形状的误差给出几乎同一个指数（1.30 与 1.32），而对数律差得很远。这一条并不与入口论文冲突——它的 $\ln(1/\gamma)$ 来自 $\mathrm e^{\varkappa t}$ 主导的假设，而一维短程链没有那个指数，信息以光锥方式扩散。换句话说，一旦离开「存在干净的量子 Lyapunov 指数」这个前提，$t_*$ 随误差变长的方式会比对数快得多。
指数落在 $-1.3$ 而不是别的数，本文没有给出理论。但它的位置是有出处的：保真度衰减的经典区制划分里，微扰／Fermi 黄金规则那一端衰减率正比于 $g^2$（于是 $T_3\propto g^{-2}$），Lyapunov 那一端衰减率与 $g$ 无关（$T_3\propto g^{0}$）。4 $-1.30$ 与 $-1.32$ 正好夹在两端之间，说明本文这个强度区间是两种机制的过渡段——这也解释了为什么两种完全不同形状的误差会给出几乎相同的指数：它由区制位置定，不由误差的算符结构定。
旋钮二：把相互作用整体缩小、误差不变
这一路完全照 s2 的做法。误差固定为两体形式、强度 $g=0.10$，对应 $T_\Sigma=20.38$；把 $H$ 整体乘以 $s$：
| $s$ | 0.10 | 0.20 | 0.30 | 0.45 | 0.60 | 0.80 | 1.00 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $T_2$ | 6.614 | 3.316 | 2.230 | 1.513 | 1.117 | 0.9070 | 0.7848 |
| $T_3$ | 38.02 | 58.45 | 79.03 | 102.3 | 117.9 | 131.1 | 140.2 |
| $T_2/T_3$ | 0.1740 | 0.0567 | 0.0282 | 0.0148 | 0.0095 | 0.0069 | 0.0056 |
| $T_2/T_\Sigma$ | 0.3246 | 0.1628 | 0.1094 | 0.0743 | 0.0548 | 0.0445 | 0.0385 |
$T_2/T_3$ 单调降到 0.0056，比 s2 的下限 $R\approx0.15$ 低了一个半数量级，而且还在降。
但这里不能说「本文推翻了 s2」，因为本文根本不在它的适用区间里。 s2 的经验式蕴含 $T_2/T_3\ge T_2/T_\Sigma$，也就是 $T_3\le T_\Sigma$——回波不可能活得比误差单独作用还长。本文七个点全都反过来：$T_3/T_\Sigma$ 从 1.87 涨到 6.88。在这个区间里强相互作用是在平均掉误差（误差在 toggling frame 里快速振荡），而不是放大它。经验式在这里结构上就不成立，硬去拟合只会得到退化的 $R\to0$，所以本文不拟合，只把违反量报出来。
这两条合起来怎么读
三句话摆在一起：入口论文说 $t_*\sim\ln(1/\gamma)$ 无界；s2 的实验说衰减率有一个与扰动无关的下限；本文这个 9 自旋模型说 $t_*\sim g^{-1.3}$、也无界，而且比对数快。
它们不构成一个矛盾，而是三个不同区间：下限不是「多体混沌」本身的推论，它需要额外的条件（足够多的相关自旋、误差与相互作用的某种比例关系），而这些条件在本文的小系统里都不满足。所以对实验的建议是反过来的——不要把「回波衰减率降不下去」直接归给多体混沌。先测一下 $T_3$ 与 $T_\Sigma$ 谁长：如果回波比误差单独作用还短，才轮到讨论下限。
三种「回来了」不是一回事，但在这个尺寸上只差两倍
前面所有的量都是一个可观测量的回波。可是「回到起点」这句话在实验里有好几个强度不同的意思：某一个自旋的读数回来了、总磁化回来了、整个多体态回来了。同一次不完美反转，这三件事的答案不一样——问题是差多少。
在同一条链、同一份误差（$g=0.10$）上把三个量的半衰时一起量出来：
| $L$ | 总磁化回波 | 单点回波 | 整体态保真度 | 总磁化 / 保真度 |
|---|---|---|---|---|
| 7 | 42.69 | 37.52 | 23.04 | 1.853 |
| 8 | 47.94 | 41.57 | 23.70 | 2.023 |
| 9 | 51.28 | 44.21 | 25.85 | 1.984 |
| 10 | 52.51 | 45.76 | 25.10 | 2.092 |
| 11 | 45.79 | 39.83 | 21.34 | 2.146 |
顺序是对的，倍数比想象的小。 整体态保真度确实掉得最快，但只快了约 2 倍，而且这个比值从 $L=7$ 到 $L=11$ 稳在 1.85–2.15 之间。单点读数比总磁化还略快一点——这条链上单点算符在光锥里扩散得比守恒量快。
更该注意的是：整体保真度的半衰时不随 $L$ 缩短。 拟合给出 $\propto\mathrm e^{-0.0096L}$，也就是每多一个自旋只短 1%，比这些点本身 ±10% 的起伏还小。朴素的期待是多体保真度按 $\mathrm e^{-\Gamma Lt}$ 掉、半衰时应当正比于 $1/L$；这里没有。
原因不在物理，在本文的误差怎么归一：$\delta H=g\sum_ic_i\sigma^x_i$ 里的 $c$ 是单位向量，所以误差的总强度不随 $L$ 变。真实装置上每个量子比特各有各的误差，总强度大致按 $\sqrt L$ 涨。本文这一组数因此不能用来回答「整体保真度是不是随系统变大而指数变差」——它只说明在误差总量固定时，变大并不会自己变坏。 要测那件事，得让 $g\propto\sqrt L$ 再扫一遍。
平台是第三件事。 总磁化的回波不掉到零，它停在
| $L$ | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|
| 实测平台 | 0.1739 | 0.1841 | 0.2033 | 0.2034 | 0.1683 |
| 对角系综闭式 | 0.1866 | 0.1765 | 0.1613 | 0.1505 | 0.1432 |
闭式是 $\sum_a|\langle a|O|a\rangle|^2/\mathrm{tr}[O^2]$——回波幺正算符在能量本征基上退相位之后剩下的那一份。量级对上了（两列都在 0.14–0.21），趋势没对上：闭式随 $L$ 单调下降，实测不下降，$L=10$ 上两者差三分之一。所以这个解释只到「平台的来源是对角系综」为止；要把它当定量预言用，得跑到比本文长得多的时间上让退相位真正完成。
这一节的实际用处是一句提醒：「回波恢复到 0.9」和「态恢复到 0.9」在小系统上只差 2 倍，可是它们是两个不同的陈述，而且平台的存在意味着回波的高位有一部分根本不是「反转做得好」——是那部分自由度压根没走。
边界、反例与可检查的预期
没有覆盖的： 全部数值都在两个自写的模型里——一条 $L\le11$ 的倾斜场 Ising 链与 $N\le20$ 的 SYK 模型，没有对任何真实装置标定。链的维数最大 2048，SYK 最大 1024，都远小于固体 NMR 的 $10^2$—$10^4$ 个相关自旋；入口论文的推导是 $N\to\infty$ 的 $1/N$ 展开，本文量到的是有限 $N$ 的那一头。时间反转被当成理想操作：正向与反向的时长严格相等，脉冲本身不占时间，也没有任何波形误差。误差只有两种形状（单体横场与相邻两体随机 Pauli），强度只扫了一维。
非相干误差的实现方式： 本文把「非相干」实现为每一轮独立重抽的同一分布的误差，而不是逐时刻的 Lindblad 跳跃算符。这样做的好处是两种误差在第一轮上逐位相同，差别只剩「轮与轮之间是否相关」这一件事；代价是它与入口论文式 (3) 里那个带因子 $2n$ 的跳跃算符项不是同一个量——那里的因子 2 来自跳跃算符在正向和反向都出现，本文的实现只在反向出现。两者都给出对 $n$ 的线性累积，这一条定性结论不受影响，但本文不引用任何与因子 2 有关的绝对系数。
判据在深衰减处必然失效： $(1-F_n)/(1-F_1)$ 这个比值只在微扰区里等于 $n^p$。回波接近它的长时平台之后，分子分母都趋于同一个数，比值必然趋于 1，指数因此必然从 2 掉到 1——这一段下滑本身不是物理。而且早在碰到平台之前，$p$ 就已经因为 $f_O$ 离开线性段而低于 2 了，相干一侧还比非相干一侧先失效（自变量涨 $n^2$ 倍对 $n$ 倍）。本文因此把指数只当代理量用、只在最浅的一档引用，真正的判据用的是不含回归、也不受饱和影响的 $F_2^{\rm coh}$ 与 $F_4^{\rm inc}$ 逐点比较。
平台本身也是一件事： 总磁化的回波不会衰减到零。弱误差下回波幺正算符主要在能量本征基上退相位，于是 $O$ 的对角系综权重 $\sum_a|\langle a|O|a\rangle|^2/\mathrm{tr}[O^2]$ 留了下来。这一部分「回得来」不是因为反转做得好，而是因为它根本没走。不过这个闭式在本文的时间窗里只对上了量级、没对上随 $L$ 的趋势（第七节），所以它只能算一个来源解释，不是定量预言。
误差的归一方式限制了尺寸结论： 本文的 $\delta H$ 归一到固定总强度（$c$ 是单位向量），不随 $L$ 涨。真实装置是每个比特各有误差、总量按 $\sqrt L$ 涨。所以本文关于「半衰时不随 $L$ 缩短」的观察只在误差总量固定的意义下成立，不能外推成「大系统不会更差」。
与 s2 的对比是跨区间的： s2 的经验式蕴含 $T_3\le T_\Sigma$，本文七个点全部反过来（$T_3/T_\Sigma$ 到 6.88）。本文因此既没有验证也没有推翻那条下限，只说明它不是「多体混沌」本身的推论。
与实验的距离： 入口论文的闭式建立在存在一个明确的量子 Lyapunov 指数 $\varkappa$、且 $\mathrm e^{\varkappa t}$ 主导的前提上。一维短程链没有这样的指数（信息以光锥方式扩散），本文因此只检验对 $n$ 的标度这条微扰层面的结论，不检验闭式的函数形状；函数形状只在 SYK 一侧对表。
可检查的预期：
- 同一台装置上把轮数扫一遍，而不是只做一轮。 这是入口论文的核心可操作结论，本文在它推导假设之外的短程链上、以及它自己用的有限 $N$ SYK 上都验到了。建议用的读数不是回归出来的指数 $p$，而是直接比「相干 2 轮」与「非相干 4 轮」两条曲线——后者不含拟合、不受 $f_O$ 饱和影响。本文链上两条曲线的最大绝对差是 0.0176，SYK 上降到同一水平所需时间相差不到一成；而该分开的那一对差了一倍。做法只要把已有的正反序列重复几次，不需要新的标定。
- 把单程时间 $t$ 扫一遍，判据的读数会自己走。 如果误差有一个有限的相关时间 $\tau$，那么当一轮时长 $2t$ 远小于 $\tau$ 时读到「相干」、远大于 $\tau$ 时读到「非相干」，中间是一条连续的过渡。这把「相干还是非相干」这个二分问题变成了一次对噪声相关时间的测量。 但要注意本文第四节量到的偏差：过渡的位置会被 $f_O$ 的饱和往前拽，所以拐点不能直接当成 $\tau$ 读，得先在同一装置上用已知相关时间的噪声标定一次。
- 别默认「把误差调小，回波按对数变长」，也别默认它有下限——先量。 本文这条 9 自旋链给的是幂律 $T_3\propto g^{-1.3}$（$R^2=0.997$），既不是入口论文的 $\ln(1/\gamma)$，也没有 s2 那条下限。判断自己在哪个区间里有一个便宜的办法：同时量 $T_3$ 与 $T_\Sigma$。本文七个点都是 $T_3>T_\Sigma$（强相互作用在平均掉误差），s2 的经验式则要求 $T_3\le T_\Sigma$。这一步不需要改装置，只要多做一组「不加反转、只让误差演化」的对照。
- 要问「整体保真度是不是随系统变大而变差」，误差必须跟着系统一起长。 本文在误差总量固定时量到三种半衰时都不随 $L$ 缩短（$L=7$ 到 11），这既不支持也不反驳那件事——因为 $\delta H$ 归一到了单位范数。把 $g$ 改成正比于 $\sqrt L$ 再扫一遍，才是对那个问题的测量。
数据与代码
复算脚本 research/calculations/time_reversal_and_incomplete_recovery.py，输出在 research/assets/2026-09-19-time-reversal-and-incomplete-recovery/（results.json 与若干 CSV、3 张图）。随机种子全部固定；完整跑过两遍，10 个 CSV 逐字节相同、results.json 共有键的取值全同（两遍之间只改过一处报数方式与三张图的画法，计算逻辑未动）。原始文献在 evidence/2026-09-19-time-reversal-and-incomplete-recovery/。