增加承载物，也增加一种错误的机会
一束光的两个相位相差180°的相干态，可以在振子的相空间里形成两团分开的状态。把未知量子比特编码在这两团及其叠加中，增加平均激发数会拉开两团的距离。配合适当稳定通道，某些使状态跨到另一团的错误便更难发生。
但振子也会丢失光子。承载信息的光子更多，损失事件通常也更多；而一次损失就能改变两团叠加的相对相位。更长的比特翻转寿命，可以与更短的相位寿命同时出现。 因此要问的不是“猫有多大”，而是两类错误怎样变化、控制是否保留这种偏置、剩下的错误由什么纠正。1
2025年的级联实验用五个猫态数据模式和四个transmon辅助元件，将内层对比特翻转的抑制与外层对相位错误的纠正结合。本篇回到其正式主文、补充方法和公开逐次读出数据，并另做一个透明的有限振子模型。实验与模型采用不同动力学和验收条件，下文分别说明。135
先把两个状态和逻辑基分清
设实数$\alpha>0$，猫大小参数$n=\alpha^2$。两个相干态的重叠为
有限$n$时，它们不正交，不能直接当作严格的量子比特计算基。使用精确正交的偶、奇猫态：
当$n$足够大，后两者分别接近$|\alpha\rangle,|-\alpha\rangle$。本文的$X,Y,Z$均以这一严格计算基定义；偶奇猫是$X$基。光子数奇偶翻转，对应这里的逻辑相位错误，命名不能混用。1
光子损失算符$a$在偶奇基内的投影为
换到上述计算基，就是
因此在大猫极限，一次损失主要表现为$Z$；有限猫的损失算符却还含非厄米的$Y$项。比如$n=2$时，本库投影核算得到$Z$系数1.41445083、$Y$系数$-0.02590657i$。这些是算符系数，不是错误概率；还需计入无跳跃演化、多次损失和流形外运动，才能得到完整通道。
同样，重叠$e^{-2n}$本身不是比特翻转率。跨团错误还取决于扰动类型、稳定速度与路径。两团分得远，却没有适当稳定，状态仍可能扩散、旋转或变形。
真实稳定装置通过泵浦、驱动和有损buffer实现两光子耗散，保持整个猫态流形。其持续资源与T133的平衡热保护不同；实验中所谓硬件层面的被动比特翻转抑制，并不表示装置没有持续驱动。1
走完一次有限时间的噪声过程
本库选取恒定速率的示例方程：
第一项稳定猫态流形，第二项为单光子损失，第三项为相位扩散。这里自选$\kappa_2=1$作为时间单位，$\kappa_1=0.02,\kappa_\phi=0.002,t=0.5$，扫描$n=1,1.5,2,3,4,6$。这不是实验参数拟合。 实际装置在门期间关闭稳定，具有辅助元件、脉冲、Kerr项和读出，不能由这个恒定方程替代。13
编码后传播三个输入算符$|0\rangle\langle0|,|1\rangle\langle1|,|0\rangle\langle1|$，重建与二维参考系统的完整Choi态。终读出采用固定猫流形投影：流形内保留完整二维逻辑块，流形外全部记为正交失败旗标$|e\rangle$。这是一项指定的理想读出，并非最优恢复，也不把失败分支删掉再归一。旗标是该数学读出的输出，没有假定实际器件已经能无扰、实时地产生同样告警。
为便于外层错误枚举，再显式作Pauli随机化：在输入和输出施加配对Pauli并平均。这定义一个新的通道；其逻辑块的四个Bell投影权重记为$q_I,q_X,q_Y,q_Z$，失败权重记为$q_e$，满足
随机化保留这里对理想恒等任务的纠缠保真度$F_e=q_I$，但改变了其他通道结构。原始未随机化的完整通道也已保存，不能直接假定它就是Pauli噪声。这是定义明确的数学对照，未计实际随机化脉冲的成本和故障。失败旗标与逻辑空间正交，对该任务的$F_e$贡献为零。
| $n$ | $q_X$ | $q_Y$ | $q_Z$ | $q_e$ | 内层$F_e$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | $8.23\times10^{-5}$ | $1.88\times10^{-4}$ | 0.01004 | 0.000410 | 0.98928 |
| 2 | $7.24\times10^{-6}$ | $6.84\times10^{-6}$ | 0.01954 | 0.000597 | 0.97985 |
| 4 | $4.66\times10^{-8}$ | $5.36\times10^{-9}$ | 0.03834 | 0.000575 | 0.96108 |
| 6 | $1.11\times10^{-9}$ | $2.89\times10^{-11}$ | 0.05643 | 0.000547 | 0.94303 |
在这个条件下，增加$n$确实强烈压低$X,Y$权重，却提高主导的$Z$权重；若只看内层的未知态存储质量，$F_e$反而下降。把$X$误差减少直接写成整体保护改善，会遗漏这个变化。
上述数值使用40维Fock截断，并逐点与52维比较，Choi矩阵最大逐元差小于$2.0\times10^{-14}$。独立解析的纯损失相干态映射、直接参考系统Lindblad微分方程，以及无噪声暗流形均通过核验。这验证这些有限计算，不证明一般误差模型或装置规模行为。
外层纠错能接住什么，又放大什么
外层选择奇数长度$d$的相位重复码，检查$X_iX_{i+1}$。在本文的逻辑约定中，$X_L=X_1$、$Z_L=Z_1\cdots Z_d$。理想综合征与多数恢复能纠正不超过$(d-1)/2$处的$Z$错误；单处$X$则直接作用于未保护的逻辑方向。多处$X$的逻辑结果取决于奇偶性，$Y$同时影响两类错误。
本库对每个$d=1,3,5,7$枚举$4^d$个Pauli图样，保留$Y$的关联贡献。任何内层失败旗标在本例中都记为整块任务失败，因此整块旗标权重是
这是清楚但保守的恢复规则，不是最优擦除纠错。换成利用旗标位置的恢复会改变结果，下一篇T136研究这一增量。
| 猫大小$n$ | $d=1$的$1-F_e$ | $d=3$ | $d=5$ | $d=7$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.01072 | 0.002337 | 0.003401 | 0.004745 |
| 2 | 0.02015 | 0.002961 | 0.003122 | 0.004272 |
| 4 | 0.03892 | 0.006018 | 0.003401 | 0.004085 |
| 6 | 0.05697 | 0.01083 | 0.004376 | 0.004128 |
同样的等待时间与终任务下，外层能显著减小相位错误；但每增加一个模式，也增加未保护错误和旗标机会。因此在$n=1$的已扫长度中$d=3$最好，在$n=4$时是$d=5$，在$n=6$时是$d=7$。这些是所扫点、所选恢复规则下的结果，不是普遍最优码距；整张网格中更大的猫也没有保证更低的总误差。
资源必须同时展开。逻辑最大混合输入的精确平均光子数是
例如$n=1$时$\bar n=1.03731$，不能把$n$在所有情况下当作精确平均能量。$d$个内层的平均总激发是$d\bar n$；另有$d$个数据模式和$d-1$项理想检查。本例尚未实现辅助元件、测量、恢复时序和解码，因此这些数字不是全装置等预算比较。即便内层比特翻转极低，理想外层检查也不是免费硬件。
作为独立校准，纯$Z$错误概率$p$的外层失败由二项分布多数尾给出；纯$X$错误则有
后一项随长度增加而上升，给出了为什么只保护主要方向仍有极限的明确机制。真实周期的错误相关、测量失败与控制故障可能进一步改变它。
保护还必须经过操作路径
如果等待时主要是$Z$错误，操作把它不断转成$X$，就可能破坏外层依赖的噪声偏置。只看理想门的起点、终点不够，还要看错误发生在中途时怎样传播。
先做一个透明对照：直接等待，与理想$H$—等待—$H$，无噪声时总操作都为恒等，等待时长也相同。但后一条路径将等待噪声的$X,Z$方向互换。本库完整通道逐点核算确认：在$n=4$时，原本约0.03834的$Z$权重变成$X$权重，固定的相位重复码不再面对原来的主要错误。额外两次$H$被记为理想控制操作；这里没有声称其实际实现无噪声或资源相同。
实验使用的是辅助transmon作控制、猫态振子作目标的色散CX。对理想受控旋转
若一次光子损失发生后还剩角度$\theta$，把损失移到门末端可得
它在数据侧仍是$a$，并附加辅助相位；在大猫近似下保留数据侧以$Z$为主的结构。本库核了五个损失插入时刻。这个单损失结论不涵盖辅助衰减、双衰减、加热、控制失准或完整阈值。
实际实验另用辅助的$|g\rangle,|f\rangle$编码，并匹配$|e\rangle,|f\rangle$引起的振子频移，使一次主要辅助衰减尽量不改变目标旋转路径；门后重新开启稳定来处理残余形变。这些才是器件上维持偏置的具体环节，不能由理想CX的Pauli共轭表自动推出。13
公开数据能核到哪一步
本库取得并校验作者Zenodo数据包，对三个比特翻转Parquet表全部分块读取：两个$d=3$表各1,653,120次，$d=5$表2,553,600次，共5,859,840次。保留两个初始符号及读出对称化，逐次核末态异或与提供的逻辑末态一致，再比较初末逻辑符号。45
按照正式SI Appendix H1，用均匀Beta先验估计每个周期数的翻转概率及标准差，将逻辑相关拟合为
振幅$A$自由拟合，不强迫制备与读出完美；$Z_L$曲线不加常数偏移。这里$\epsilon$是作者采用的连续指数率口径，精确的离散单周期翻转概率是$(1-e^{-2\epsilon})/2$，二者只在小误差时近似相等。3
| 实验设定$n$ | 第一个$d=3$子段$\epsilon$ | 第二个$d=3$子段 | $d=5$ |
|---|---|---|---|
| 1 | $2.403\pm0.044\%$ | $2.162\pm0.044\%$ | $4.028\pm0.086\%$ |
| 2 | $0.694\pm0.011\%$ | $0.744\pm0.012\%$ | $1.473\pm0.022\%$ |
| 4 | $0.453\pm0.007\%$ | $0.396\pm0.006\%$ | $0.817\pm0.012\%$ |
21条合并初态曲线另用原始二项计数似然拟合，两种估计的$\epsilon$最大绝对差为$1.04\times10^{-5}$。这支持拟合算法层面的稳定性。部分曲线的约化卡方超过1，最大约3.02；条件抽样误差不能覆盖六小时运行中的校准漂移等系统误差。第一个$d=3$子段在$n=3.5$到4之间还有回升，数据并非每一点都严格单调。
三组数据与上述机制一致：增大猫通常降低比特翻转率；较长外层具有更多这一未被纠正方向的错误机会。不过两个$d=3$子段使用的模式不同，数据也含门和器件差异；这不是只改变长度、其余完全相同的控制实验，不能把所有差值唯一归因于$d$。这些表不测相位恢复，更不单独重建实验的完整Choi通道。 本篇未重跑MWPM相位解码；其三值综合征中1表示擦除，不能擅自当普通奇偶值或删除相应样本。35
正式论文另报告$d=5$相位方向改善，并将两方向拟合率的平均定义为总体指标。这个平均在Pauli模型下是$(P_X+2P_Y+P_Z)/2$，与本篇有限通道的$1-F_e$不是同一个量。SI的breakeven比较还显式依赖Pauli假设与由两个寿命构成的界，不能把两轴寿命当完整过程层析。作者也明确指出，有限残余比特翻转限制重复码的渐近保护。13
可以据此检查的条件
本篇得到的是一条有条件的因果链：编码分离改变某些扰动的跨团机会，光子损失同时增加相位错误，稳定通道和控制路径决定偏置能否保留，外层再纠正主要方向，并承担更多模式和残余错误。
若改变条件，可检查以下预期：
- 固定损失和等待时间，只增大$n$，内层$X$指标可能改善而未知态质量变差；同时测两方向和流形外概率才能区分。
- 固定猫大小，增加相位重复码长度，应先看到相位恢复的收益，再受残余$X$、失败和额外执行错误限制；限制出现的位置依赖恢复规则。
- 固定理想总操作，改变中途控制路径，噪声方向可以改变；应在完整时序中插入错误核验，而非只测无噪声终门。
- 利用失败位置、优化终恢复或减少稳定关闭区间，可能移动上述折中；这些需各自的通道与成本证据。
仍未决的是，含实际控制故障、相关噪声及优化恢复后，怎样分配激发数、模式数和检查时间才最好。本篇没有给出任意玻色编码的统一排名、全装置等预算优势或一般阈值。T136接着研究位置告警的恢复能力，T138再核操作期间的逐故障保护，T140最后比较可匹配的完整任务。
计算与证据范围
正文图表均由本库脚本生成，没有复制论文图片。原件、版本和读取定位见来源记录；正式主文/SI与后出的作者v2分开保存。
- 有限振子模型、控制与外层枚举代码：库内
research/calculations/bosonic_encoding_error_bias.py；数值结果与原始Choi矩阵。 - 公开比特翻转数据重分析代码：库内
research/calculations/bosonic_encoding_data.py；分组原始计数、拟合表与数据读取记录。 - 科学自审代码：库内
research/calculations/bosonic_encoding_error_bias_audit.py及76项核验结果：解析纯损失、直接参考系统ODE、显式Pauli随机化、64种三比特错误的恢复、截断和原始计数/拟合交叉检查。
以上是有限模型核算和公开比特翻转记录再分析；没有复现整台器件、相位解码器或作者完整仿真。科学自审由Codex作者完成，不冒充独立审阅。