信息存得住，为什么一操作它就可能失去保护？

同一个码，操作过程可以不同

一个存储码能够纠正单个物理比特错误，不表示对它执行逻辑操作时发生的单个故障也可纠正。门可能把局部错误复制到多个位置，操作也可能暂时把逻辑内容集中到一个元件；开始和结束都在好码里，中途仍可能缺少保护。

还有另一种失败：门本身没有大量传播错误，但辅助状态准备错了，或者测量选错对象，便可能把逻辑错误送入数据，甚至直接读走未知内容。检查次数、存储寿命和单个物理门保真度，都不能单独回答这些问题。

本篇限定一个可完整核算的操作：七比特Steane码上的逻辑Hadamard门，简称逻辑$H$。不把一个Clifford门的机制推成所有通用操作的保证；现代中性原子研究用于核操作与检查的角色和实验报数，具体计算则是本库自建有限模型。14

两种理想上完全等价的逻辑H

取七个数据比特，编号0至6。三项$X$检查为

另有同位置的三项$Z$检查。它们相互对易、独立，共同留下一个逻辑比特。可选逻辑算符是

本库独立构造二维编码映射$V$，穷尽重量1、2的错误并找到重量3逻辑代表，核码距为3。例如$X_0X_1X_6$与所有检查对易，却改变逻辑内容。

第一种实现对每个数据比特分别作$H$：

它交换两族检查，并交换逻辑$X_L,Z_L$。一个物理比特的故障不会因这组单比特门而扩散到别的比特。这是这个码的具体性质，不是所有编码都能用相同横向门。

第二种实现先完整解码，在承载未知输入的单个物理比特上作$H$，再编码回来。若$E$为本库的编码电路，理想情况下也有

本库用一个明确、保守的二元可逆编码器实现$E$；解码式操作总计66个CNOT、七个$H$，横向实现为七个$H$。这个编码器没有声称最优。对完整$128\times2$编码映射逐门执行，两者与$VH_L$的最大偏差均约为$1.11\times10^{-16}$；理想等价性成立，问题在故障发生时。

保护是否经过一个狭窄窗口

让$U_t$表示执行到某个门边界的操作，暂时的编码空间为

本库在每个门边界重新检查物理Pauli算符：哪些与当前约束相容，哪些仍会改变逻辑内容。还用显式演化的编码映射压缩这些低重量算符，独立核最小重量。

横向$H$的各单比特门边界始终保持距离3。解码式实现却先降到2、再降到1，末尾重新回到3。完整解码后，未知态已经位于物理比特0，其余数据只承担已知辅助状态；在中央$H_0$之后插入一个$X_0$，经过重编码会成为

它在最终检查中没有综合征，却已经改变未知逻辑态。后面再测同一组稳定子也不能区分它与无故障分支。末尾码距恢复为3，并不会自动抹掉中间发生的逻辑错误。

只对操作门列出单故障，横向实现有21种非恒等单比特Pauli故障，全部仍可纠；解码式网络有1,011种单门故障，其中51种已经是零综合征的非平凡逻辑错误。这些计数不是按相同概率直接相除，单比特与双比特门的错误率另行给定。

另作一个有限诊断：仅操作门有噪声，CNOT错误概率$p$、$H$错误概率$p/10$，末尾允许理想检查与最优Pauli恢复。精确计入全部多故障后，$p=0.001$时，两种实现的纠缠保真度分别为0.999999837与0.971616271。此处刻意隔离操作传播，不包含下面的真实辅助过程。

这一对照区分了“门的理想逻辑作用正确”与“执行过程保持可恢复性”。它也没有说明所有解码式设计都同样差；这里的反例针对一个明确暴露单物理逻辑线的实现。

测量要取得错误线索，不能取得未知内容

接下来真正加入辅助检查。每族使用一个七比特编码辅助块，每个辅助只与一个数据比特作横向CNOT，避免一个辅助在数据块内挨个扇出。

检查$X$错误时，辅助准备为$|+\rangle_L$，数据作控制、辅助为靶，然后沿$Z$读辅助。检查$Z$错误时，辅助准备为$|0\rangle_L$，辅助作控制、数据为靶，然后沿$X$读辅助。读出七个物理位后的三个经典奇偶，给出每族的错误线索。4

这里的辅助状态和方向不能随意互换。在逻辑层上，如果错误地把$|0\rangle_L$放在CNOT的靶端，未知输入

就会与辅助形成$\alpha|00\rangle_L+\beta|11\rangle_L$。测辅助的$Z$读到了未知逻辑内容；忘掉测量结果后，数据失去相干。正确的$|+\rangle_L$靶态对逻辑$X$不变，因而不会这样复制内容，同时物理错误仍能移动辅助读出的校验奇偶。

本库显式执行14个物理比特的完整编码映射及128种辅助测量分支，核正确的两种方向均保留未知态，纠缠保真度为1；输入单个$X_0$或$Z_0$时能得到相应的111校验记录。错误采用$|0\rangle_L$靶态再作$Z$读出时，即使没有任何噪声，完整通道的纠缠保真度也只有0.5，而三个校验奇偶仍可以全为零。

“记录看起来没有错误”因此不等于“测量没有伤害未知态”。这里不是靠两个基态的读出正确率作判断，而是真正保留了参考系统和所有测量分支。

把辅助、等待和实际纠正一起算入

从同一个已经编码的未知输入开始，两种方案均在$119\tau$结束。$\tau$是自选的门时长单位，不是对某台器件的微秒拟合。

首先安排73步操作窗口：横向$H$用一层，其后数据等待72步；解码式实现逐门执行73步。随后以相同37步准备两个辅助块，再用五步完成两族横向检查、读出及读出基变换；留两步作经典决策，最后两步执行条件$X$、$Z$纠正。某位置不需纠正时，在对应时间槽计闲置噪声。

另计最后两层的实际纠正脉冲及其他位置的闲置，分支数量由记录决定。横向方案的闲置元件步略多，是因为它把更多共同时间用来等待；这不表示解码式方案用时更短。本模型选两块一次性辅助，不称最低元件需求；读出后的辅助退出等待计数。输入的初始编码作为共同边界；本篇没有核算一整套输入制备工厂。

噪声取明确的独立随机模型：CNOT以概率$p$发生15种非恒等双比特Pauli错误之一，$H$及纠正脉冲以概率$p/10$发生三种单比特Pauli错误之一；辅助初始化位翻转率、读出位翻转率均为$2p$；每个闲置元件每步发生Pauli错误的概率为$\beta p$。不把这些自选参数当实验标定，也不把Pauli模型自动扩展到相干漂移或相关泄漏。

每份六位检查记录对应一个实际纠正选择。为避免把“解码”当黑箱，本库为256个数据Pauli等价类各固定一个最小重量代表，计入它的$X/Z$脉冲和闲置噪声，再选择使目标编码输出概率最大的实现。这个最优性限于已列的256种物理纠正方案，不是任意量子恢复的全局优化；离线生成的记录查找表也不证明实际电子学能实现两步延迟。

回到理想编码态，与还能恢复的信息不同

主结果是完整的未知输入通道，输出为七个物理数据比特。所有最终综合征扇区都保留，没有先挑成功样本。用与参考比特的关系定义

其中$|\Phi_{VH}\rangle$是理想编码逻辑$H$作用后的纠缠态，$C_{\rm out}$是实际完整输出Choi态。同时记录回到码空间的概率$P_{\rm code}$：留在码空间却发生逻辑错误，会使两者不同。

再给一个单独的诊断$F_e^{\rm next}$：额外提供一次完美最终综合征，并允许结合已有记录作理想Pauli恢复。它是在指定Pauli恢复族内、当前流程之外的条件上界，不是声称本次带噪纠正已经做到该质量。一次可纠物理错误可能使$F_e^{\rm code}$降低，却仍能被下一轮取回；不能因此直接判定容错失败。

计算采用数据Pauli商空间的八位线性坐标，加上六位观测记录，共16,384个联合状态。独立故障在这个有限群上精确卷积，再按实际记录执行带噪纠正；包含任意数量的指定Pauli故障，超出了单故障或一阶近似。最终重建七物理输出与参考系统的$256\times256$矩阵。

辅助制备分别看两种条件：完整噪声、未验证的制备网络；以及只关闭辅助制备阶段故障的对照。后一种仍保留相同门数、时序和数据等待噪声，用于隔离辅助质量的作用，不是已经实现的带噪验证方案。

取$p=0.001,\beta=0.01$：

这组结果同时显示两件事：操作中的暴露窗口会伤害保护；好的横向门也不能代替辅助制备质量。两个质量指标回答不同问题，不能把右列直接作为实际输出报数。

在这个点，四种条件每次尝试实际执行的平均纠正脉冲数约为0.0090、0.0302、0.1239、0.1613。它们较小，是因为查找表可能认为某份非零记录更像读出错误而选择不纠正，不能把每个非零校验都直接翻译成一次物理操作。

低噪声展开进一步核了这个区别。制备无故障的横向方案，$1-F_e^{\rm code}$的一阶系数为16.403333，但$1-F_e^{\rm next}$的一阶系数为零；部分一阶损伤仍可恢复。未验证辅助则使后一系数变成19.973333，解码式实现即使关闭制备故障也有32.706667。零一阶只表示指定单故障集合下的可恢复性，不证明一般阈值或无限多轮可靠性。

为什么已编码辅助也需要验证

一个已知辅助状态中的逻辑错误，并不因它“也用了好码”就容易发现。以$|+\rangle_L$靶辅助为例，若制备成$|-\rangle_L$，它带着逻辑$Z$；横向CNOT会把这个$Z_L$送到数据。辅助的$Z$读出与检查奇偶却不能分辨这两种相位。类似地，$|0\rangle_L$控制辅助若误制成$|1\rangle_L$，会把逻辑$X$送进数据。

本库的自选制备器中，辅助未编码逻辑输入线的一次初始化翻转就能造成上述事件。逐门传播确实得到：最终数据是逻辑$Z$或$X$，数据综合征和辅助记录均为零。此时“再多测一次数据稳定子”不能补回缺少的信息。

这解释了Steane原始设计为何要求辅助先制备并测试，合格后再接触数据，并重复综合征提取以处理生成过程的错误；其早期数值估计还明确依赖最后测试残余错误的独立性等假设。4

已知辅助资源允许在接触未知输入前验证和重试，但验证本身有故障、耗时和元件成本。本篇没有把理想筛选器补进结果，也没有声称已设计出完整容错辅助工厂。这里获得的是条件分界：局部物理故障在未经验证的编码制备中，可能先变成对数据危险的逻辑辅助错误。

丢弃记录不好的样本，不能替代未知态恢复

以噪声未验证辅助的横向方案为例，仅接受六位检查记录全零的尝试，可把接受样本的编码态质量从全部样本的0.933470提高到0.971463；但接受比例只有0.894679。失败输出保留为正交旗标后，无条件纠缠保真度为0.869148。

本库显式保存成功数据输出和失败旗标的完整Choi矩阵，核迹保持与正性。没有把失败分支删除再报“完整”保真度。未知输入失败后不能默认重新准备同一份内容；能重试的已知辅助制备与已执行的未知逻辑操作是不同任务。

现代实验支持到什么范围

中性原子工作把横向CNOT与晶格手术放在同一研究中，明确指出测量的角色不同：前者的逻辑作用由数据间门完成，检查用于跟踪和清除错误；后者通过联合逻辑测量实现操作，测量结果本身必须可靠。其图3对辅助读出错误的额外扰动是在数据后处理中注入，并相应改变解码模型，不是重新施加物理测量噪声。1

该图所有数据先选初始完全填充；横向门部分一般保留全部这些样本，晶格手术点使用接缝辅助的错误检测，另一些曲线再按解码置信度筛选。补充材料逐图列出了这些不同接受规则。12

2026年出版更正还将图3d的标签从corrected decoding改为correlated decoding，当前正式PDF已更新。它提醒读者这里涉及关联解码，不是一个可忽略的“都纠正过了”标签；更正内容没有声称修改数据。3

这些实验测逻辑Bell态的$XX,ZZ$奇偶及相应归一错误，并不单凭这两项就给出任意未知输入的完整逻辑门通道。本篇未取得该逻辑操作的全部逐次轨迹，也没有重跑作者解码器或用本库的$H$模型拟合它。公开的重复存储数据不能替代逻辑操作的全部证据。

从存储指标走向操作指标

本篇较稳的结论是：理想逻辑作用、存储码距、执行过程的错误传播和实际输出质量必须分别核。具体过程给出了可以检查的条件变化：

• 保持起点、终点编码与理想逻辑门不变，改变中间编码空间，单故障恢复能力仍可改变。
• 保持横向门不变，改变辅助制备质量，危险的编码辅助错误可绕过数据稳定子检查。
• 保持错误记录数量不变，改变辅助状态和测量方向，记录可能从错误线索变成逻辑内容读出。
• 保持同一噪声过程，改用条件成功质量或额外完美检查后的质量，会改变报数，却没有自动改进实际交付过程。

未决的是，采用带噪验证、辅助复用、多轮时间记录和有限相关噪声后，怎样用最低资源实现同一个逻辑任务。本文的保守编码器、独立Pauli模型与自选时钟不能代表最优硬件方案；门内连续控制、泄漏和通用非Clifford操作也未覆盖。T139接着核保护能否保留待测信号，T140再在能匹配的范围内比较完整收益。

可回查的计算范围

代码为research/calculations/protected_logical_operations.py、protected_logical_operations_audit.py与protected_logical_operations_figures.py。全部图由本库生成，未复制实验图片。

可回查：编码矩阵、门事件、噪声及纠正方案、动态码距、完整过程扫描、仅操作门诊断、噪声横向方案完整矩阵、科学核验。

核验包括每个门边界的显式量子压缩、所有初级故障的独立前向传播、七数据比特全密矩阵门噪声通道、14物理比特全部辅助Kraus分支、有限多位置全分支卷积、实际纠正的全部$4^7$局部Pauli图样以及完整／带失败旗标矩阵的正性与迹保持。未直接演化21物理比特的完整带噪密矩阵；精确Pauli商空间计算的适用范围如上。作者自审由Codex完成，不冒充独立审阅或实验完整复现。